Schlagwort: Schulaufgaben

Erzählen mit Perspektivenwechsel, die Schulaufgabe

Bei den letzten Schulaufgaben (für Leute außerhalb Bayerns: angekündigte, benotete Aufsätze, heftig benotet) meiner 6. Klasse habe ich mich beim Korrigieren sehr unterhalten. Eines der Themen, angelehnt an diese Übung (und die), sah so aus:

Zwei Leute haben sich verabredet, um ins Kino zu gehen. (Möglich: Kind/Elternteil, Freunde.) Einer von beiden ist pünktlich und wartet vor dem Kino und wird ungeduldig oder besorgt, weil der andere nicht kommt. Der oder die andere hat sich verspätet und beeilt sich sehr, um noch rechtzeitig zu kommen.
Erzähle das, indem du zwischen den Perspektiven der beiden abwechselst. Schildere anschaulich das Innenleben der beiden. Schreibe unterhaltend, aber übertreibe nicht; benutzte Vergleiche oder Metaphern. Am Schluss der Erzählung sollen Sie sich treffen.
Erzähle in der 3. Person.

Die Schülerinnen und Schüler haben viele Varianten dazu gemacht – Freunde, Freundinnen, Kinder und getrennt lebende Elternteile. Sehr häufig war auch das Liebespaar, das sich verabredet hatte – und an das ich beim Themenstellen gar nicht gedacht hatte. Hier die schöne Lösung einer Schülerin – 6. Klasse, 55 Minuten Arbeitszeit, 770 Wörter, gelegentliche Rechtschreib- und Kommafehler verbessert, Absätze waren bereits in dieser Form vorhanden:

Er rümpfte seine Nase. Es war schon viertel vor acht. In fünfzehn Minuten würde der Film beginnen anfangen. Irgend so eine romantische Schnulzengeschichte. Ein tiefer Seufzer entwich ihm. Von so viel Liebe und Personen, die sich Namen wie “Schnuckebärchen” oder “Honigkuchenpferd” gaben, hatte er wenig Ahnung. Ihm waren diese Leute relativ egal. Trotzdem wartete er nun schon seit geschlagenen weiteren 15 Minuten vor dem riesigen Kino, dessen Leuchtschriften und Plakate die nächtliche Atmosphäre dieses Stadtteiles etwas erhellten. Obwohl seine digitale Armbanduhr, auf die er in der vergangenen Zeit mehrmals nervös und stöhnend einen Blick geworfen hatte, erst 20.50 Uhr zeigte, lag die zu kleine Nebenstraße des Kinos verlassen vor ihm. Eigentlich wollte er gar nicht hier sein. Er hätte genau so gut zu Hause bleiben und einen gemütlichen Abend verbringen können. Aber wieder einmal hatte ihn seine Freundin Stella dazu überredet, ihr diesen einen Gefallen zu tun. Wie immer war das Argument, dass es nur dieser eine war und er in letzter Zeit viel zu wenig bei ihr war. Tja, wie immer eben. Was tut ein Mann nicht alles, um die Welt der Frauen erträglicher zu machen.

Sie musste sich beeilen. Ihr ausgemachter Zeitpunkt wäre bereits um halb acht gewesen. Nun blieben ihr nur noch sieben Minuten um ihren Weg zum Kino zu schaffen. Wieso war sie nicht mit der S-Bahn oder dem Bus gefahren? Und wieso hatte ihr Vater ausgerechnet heute dieses, wie er immer betonte, superwichtige Meeting seiner Firma, bei dem er natürlich unbedingt den Wagen für sich beanspruchte. Sie atmete tief die kalte Luft durch ihre Nase ein, ließ sie hörbar wieder hinaus. An jenem Abend hatte einfach nichts klappen wollen. Ihre Haare sahen aus wie gehäuftes Stroh, ihr Make-up machte sie sicherlich zu einem Clown im Abendkleid. Vor ihren Augen konnte sie schon ihre Mitschüler über sie tratschen sehen. Mit Worten wie: “Hast du schon gehört?” und “Ich sag es ja, eine richtige Vogelscheuche!” würde sie das Gespött der Schule werden. Der einzige Trost bestand darin, dass sie mir ihrem Freund Derek für einen Liebesfilm verabredet war. Man hörte nur die romantischsten Dinge über ihn. Himmlisch. Diese Erkenntnis malte ihr ein erleichtertes Lächeln auf ihr Gesicht. Nur er und sie. Verborgen ihm Dunklen des Kinosaales.

Na, toll. Da nahm er sich extra den Abend frei und sie ließ ihn einfach so sitzen. Drei weitere Minuten verstrichen ohne auch nur die kleinste Regung. Aber Moment! Das hieß ja auch, dass er nur noch vier Minuten hatte, bis er sie hier in der Kälte stehen lassen konnte. In seinem Kopf spielte sich ein weiterer Film ab: Er ging. Sie kam und… sie heulte. Nein. Das konnte er nicht machen. Nicht nachdem er es nun schon so weit gemeistert hatte. OK. Er musste ganz ruhig bleiben. Er musste einfach an schönere gemeinsame Zeit mit ihr denken. Ja. Es half ein wenig. Dies war der Beweis, dass er sie wirklich liebte. Na, gut. Ein Film. Ein lächerlicher Film. Was war das schon für eine Aufgabe für einen Mann wie ihn. Schulter zurück. Brust raus. Cool bleiben. Ja. Das war ein Mann.

Sie blieb abrupt stehen, kramte einen kleinen Kosmetikspiegel aus ihrer Handtasche hervor und warf einen letzten, prüfenden Blick hinein. Ihre Vermutung hatte sich bestätigt. Zum Teil. Lächeln. Einfach lächeln. Wenn ihm wirklich etwas an ihr lag, würde er über die kleine Schminkpanne hinweg sehen. Noch einmal atmete sie tief durch, ehe sie den Spiegel zurück steckte, ihr Sonntagslächeln aufsetzte und um die Ecke vor dem großen Gebäude des Kinos eilte. Sie beschleunigte ihren Gang, als sie ihn sah. Er sah umwerfend aus im Schein der Lampen, die in alle Richtungen ihren Glanz warfen. Majestätisch. Ja. Fast schon göttlich.

Da war sie. Endlich. Mit langen Schritten kam er ihr, um Lässigkeit bemüht, entgegen. Sie wirkte süß, gleichzeitig jedoch auch stilbewusst und elegant. Wunderschön. Aber ihr Lächeln übertraf jedes noch so strahlende Model dieser Welt. Von ihm aus konnten zehn Heidi Klums auf ihn zu kommen; er hätte nur Augen für sie. Sie, seine große Liebe.

Wie schaffte er es nur, so entsetzlich ruhig zu bleiben? Tja, er hatte wohl viele versteckte Talente. Zu denen zählte auch die Kombination seiner Lederjacke, dem weißen Shirt und der verwaschenen Jeans, die er wie der Schöpfer der Coolness zum besten trug. Ihr Bauch kribbelte, als würden viele Schmetterlinge und Flugzeuge durch ihn ihre Loopings drehen. Dieser Abend würde trotz kleiner Katastrophen perfekt werden.

Als sich die beiden nach einer scheinbar endlosen Zeit trafen, fielen sie sich in die Arme. Dabei vergaßen sie fast schon wieder den Anlass, weshalb sie hier waren. Doch das war ihnen in diesem Moment egal. Zwei Menschen. Eine große Liebe.

Natürlich ist das ein bisschen übertrieben… aber besser als zu wenig innere Handlung. Der abgeschlossene Kurzroman als Aufsatzsorte?

(Fußnote fürs nächste Mal: Nicht alle Aufsätze waren so gut, auch wenn viele Einser dabei waren. Den Unterschied zwischen erlebter Rede und wörtlicher Rede muss ich besser erklären, der war nicht allen klar. Aber ähnliche Themen gibt es viele, und die werde ich auch in Zukunft ausprobieren. Kaufhausdetektiv und möglicher Ladendieb… oder bringe ich Schüler da auf falsche Gedanken?)

Die Normalverteilung, Teil 3 (Wirre Reste)

Zum vorhergehenden Beitrag. Der ist inzwischen so lange her, dass ich etwas den Faden verloren habe. Es ging um die Punkte, Noten und Normalverteilung. Jetzt eher wirr, Sie mögen verzeihen, der Rest.

Meine Erkenntnisse bisher: Gesamtpunktzahlen sind tatsächlich mehr oder weniger normalverteilt, zum Beispiel so:

Die abstrakterer Normalverteilungskurve dazu sieht so aus:

Diese halbwegs normalverteilten Punktezahlen werden dann nach einem äquidistanten Schlüssel in Noten von 1 bis 6 umgerechnet. Das sieht dann so aus:

Auch hier wieder die Normalverteilungskurve, wobei die 6 Farben den 6 Noten entsprechen.

Diese Farbverteilung gilt für eine normal schwere Englischschulaufgabe. (Wären die Aufgaben besonders schwer oder leicht, wäre eine andere Punkteskala angebracht. Dann wären die rechten 5 Farbstreifen jeweils alle etwas schmäler oder breiter.) Die eingezeichnete Kurve ist die einer gut ausgefallenen Schulaufgabe, in der es keine 6 gab und der Mittelwert bei knapp über 3 lag. Die auf der Basis des äquidistanten Punkteschritts entstandene Notenverteilung ist immer noch halbwegs normalverteilt: weniger 1er und 5er, mehr 2er und 4er, noch mehr 3er. Dass es keine 6er gibt, ändert nichts an der Normalverteilung, sondern schiebt die eingezeichnete Kurve einfach etwas nach rechts; bei einem schlechteren Ergebnis muss man sich die Kurve einfach weiter links und eventuell etwas flacher vorstellen.

Genauso gut könnte man allerdings auch einen anderen, nicht äquidistanten Punkteschlüssel verwenden, bei dem die Bereiche für die 1 und 6 viel, die für 2 und 3 ein bisschen größer und die für 3 und 4 kleiner sind. So etwa:

Wenn man den Bereich für die 3 und 4 entsprechend klein, den für 1 und 6 entsprechend groß macht, kann trotz normalverteilten Punktezahlen jede Note etwa gleich oft heraus kommen. (In der Oberstufe wird im Fach Englisch ein solcher nicht äquidistanter Schlüssel angewendet. Der spreizt die Bereiche allerdings nur ein bisschen; die letztliche Notenverteilung ist dann doch wieder normalverteilt. Also steckt da schon der bewusste Wunsch dahinter, zu einer Normalberteilung der Noten zu kommen.)

Ist diese letztlich ja doch angestrebte Normalverteilung an Noten 1-6 als Ziel sinnvoll? Warum nicht mal eine bimodale Verteilung:

Macht es überhaupt Sinn, sich den Durchschnitt und die Verteilung von Noten anzusehen? Theoretisch ist es so, dass es zwischen den Noten 4 und 5 eine wichtige Grenze gibt: Die Noten 1-4 sind sehr gut bis ausreichend und gelten als “bestanden”. Ausreichend halt. Die Noten 5-6 sind ungenügend oder schlimmer. Eben nicht ausreichend, um zu bestehen. Bei der Benotung von Deutschaufsätzen wird das auch so gehandhabt, bei allen punktezählenden Klausurvarianten wird die Grenze relativ willkürlich auf eine bestimmte Punktzahl festgelegt. Bei diesen wünsche ich mir eine bessere Möglichkeit, ausreichend von nicht ausreichend zu unterscheiden.

Andere Länder

In der Schweiz sieht es übrigens so aus: es gibt Noten von 6 bis 1, dabei ist 6 die beste Note und 1 die schlechteste. Vor allem ist aber die Aufteilung der Noten eine andere: 1-3 ist ausreichend (sehr gut, gut, genügend), 4-6 ist nicht aureichend (ungenügend, schlecht, sehr schlecht). Das wünsche ich mir manchmal auch: weniger Differenzierung bei den ausreichenden Leistungen und mehr bei den nicht ausreichenden.
Auch in Italien ist das wohl so: Da gibt es die Noten 0 bis 10, wobei 10 am besten ist. Die Noten 0-5 entsprechen verschiedenen Graden von nicht ausreichend, die Noten 6-10 sind ausreichend (genügend bis ausgezeichnet).

Ganz extrem finde ich das bei den 15 Punkten der bayerischen Oberstufe: es gibt elf bis zwölf Noten für ausreichend (15 bis 5 oder 4 Punkte, je nachdem wie man es sieht) und gerade mal vier bis fünf Noten für nicht ausreichende Leistungen (4 oder 3 bis 0). In welchem Bereich ist eine möglichst differenzierte Rückmeldung denn sinnvoller? Das weiß ich noch nicht.

Natürlich liegt die größere Differenzierung im oberen Breich auch daran, dass mehr Schüler Ergebnisse in diesem Bereich erzielen, was ja schön ist. Und an der inflationären Natur von Noten. Wenn alle immer bessere Noten kriegen, muss man halt oben anbauen. So führt England 2009/10 auch bei den A-Levels die Note A* ein, weil es einfach zu oft A gibt.

(Mehr zu Noten in verschiedenen Ländern bei Wikipedia.)

Leistungen und das Leben danach

Vermutlich unterscheiden sich die Noten in den verschiedenen Bundesländern nicht sehr von einander. Allerdings scheint es so zu sein, dass aus vielerlei Gründen die Schüler in einem Bundesland, sagen wir mal, bessere Leistungen erzielen als in, sagen wir, einem anderen Bundesland. Das können internationale oder bundeslandübergreifende Tests ergeben. Darauf ist dann das eine Bundesland stolz.
Meine Vermutung ist: zu Recht. Aber sicher bin ich mir nicht. Wer mehr in der Schule lernt und wer mehr nach der Schule kann, muss nicht unbedingt ein glücklicheres oder produktiveres Leben führen, auch wenn ich das vermute. Das zu untersuchen ist wichtiger, aber auch schwieriger.
Ich erinnere nur an diese Studie, deren Ergebnisse nahelegen, dass über das Leben nach der Schule nicht das Schulsystem entscheidet (Gesamtschule, Dreigliedrigkeit), sondern immer noch die soziale Herkunft der Familie: “Wenn es um die weiteren Bildungsstufen geht, um die risikobehafteten Entscheidungen beim Schulabschluss, bei der Ausbildung und bei den Berufslaufbahnen, dann verliert sich dieser schulische Einfluss, und die familiären Ressourcen in der Gestaltung der Entscheidungen treten in den Vordergrund.”

Die Vergleichsarbeiten

Bei den Vergleichsarbeiten in der 8. Jahrgangsstufe gibt es für jede Aufgabe nur einen Punkt: Gelöst oder nicht gelöst. Der Schwierigkeitsgrad der verschiedenen Aufgaben ist den Testauswertern bekannt, und abhängig davon, wie viele Aufgaben welchen Schwierigkeitsgrads gelöst worden sind, lässt sich – theoretisch – errechnen, auf welchem Leistungsstand der Schüler ist.
(Deshalb macht es bei diesen Aufgaben auch wenig Sinn, die Punkte zu summieren, also den Prozentsatz an gelösten Aufgaben zu errechnen. Es kommt darauf an, welche Aufgaben gelöst wurden. Zugegeben, wenn man wollte, könnte man das schon hochrechnen, jedenfalls wenn man den Schwierigkeitsgrade der Aufgaben kennte.)

Punkte bei Teilaufgaben

Zufrieden war ich neulich bei einer Prüfung, die ich gestellt habe. Stoff der letzten Stunde, plus etwas Grundwissen. Es gab eine Aufgabe, die das mir Wichtigste enthielt: wer die nicht schaffte, bei dem sah ich die Leistung insgesamt als nicht ausreichend. Note 5 oder 6. Dazu gab es zwei kleinere Aufgaben, die darüber entschieden, in welchem Abschnitt von “ausreichend” sich die Leistung bewegen würde (falls die erste Aufgabe gelöst war), die machten also den Unterschied zwischen 1-4 aus.

Die Normalverteilung, Teil 2

Beim letzten Mal ging es um die technische Seite der Normalverteilung. Diesmal erzähle ich, wie es überhaupt dazu kam, dass ich mir darüber Gedanken machte. Das war so:

Einmal schrieben alle Klassen eines Jahrgangs an unserer Schule die gleiche von uns Lehrern selbst entworfene Prüfung. Sie bestand aus 13 Teilaufgaben; auf jede Aufgabe gab es 3-6 Punkte. Insgesamt waren 60 Punkte zu erreichen. Von drei Klassen hatte ich die Ergebnisse in digitaler Form zur Verfügung, das waren 87 Schüler (ohne Legastheniker und Sonderfälle). Wo ich schon mal so viele Ergebnisse hatte, bot es sich an, die auch mal genauer anzuschauen.

Ein erster Überblick über die Gesamtpunktzahlen, auf der x-Achse die Punkte von 0 bis 60, auf der y-Achse die Summen der erreichten Punkte, schon ein bisschen geglättet:

Unspektakulär. Normalverteilt genug, auch wenn da ein Loch rechts neben der Mitte ist.

Mich hat jetzt besonders interessiert, welche der einzelnen Teilaufgaben uns Prüfungserstellern gut gelungen sind und welche nicht. Ich verrate bestimmt kein großes Geheimnis, wenn ich zugebe, dass man manchmal mit Aufgaben daneben langt. Sie sind zu leicht oder zu schwer oder falsch oder ungeeignet dazu, das zu prüfen, was man damit prüfen will. Ich dachte mir beim Betrachten unserer Prüfungsergebnisse erst mal ganz naiv: Eine Aufgabe mit, sagen wir, 5 Punkten, bei der jeder Schüler nur 0-2 Punkte erreicht hat, war möglicherweise zu schwer. Eine Aufgabe mit 5 Punkte, bei der jeder Schüler 4-5 Punkte erreicht hat, war vielleicht zu leicht und differenziert nicht besonders. Gerade beim Benoten solcher Aufgaben läuft es manchmal darauf hinaus, dass man die Aufgaben, bei denen alle Schüler gleich gut oder gleich schlecht waren, genauso gut gleich hätte weglassen können, so dass die tatsächliche Note eigentlich nur von den wenigen differenzierenden Aufgaben abhängt.

Ich ließ also mein Auge die Spalten des Tabellenkalkulationsprogramms hinabgleiten. In jeder Spalte standen die Ergebnisse einer Aufgabe. Gab es ständig nur hohe Zahlen… zu leicht… gab es ständig nur kleine Zahlen… zu schwer… und weil ich gerne bastle, hoffte ich darauf, dass es vielleicht eine schicke Funktion geben würde, die mir das Rechnen abnimmt und mir auf Basis der eingegeben Zahlen einfach ausgerechnet, wie gut oder schlecht die einzelnen Punkte verteilt waren.

Ah! Daher die Beschäftigung mit der Standardabweichung. Leider hat sich – siehe letzten Eintrag – herausgestellt, dass mir die vermutlich nicht viel weiterhilft. Zumindest ist mir hier noch weniger klar, wie man da von einer Summe unabhängiger Einzeleregebnisse sprechen soll. Außerdem gibt es ja auch noch eine Mittelabweichung, und ich als völliger Laie habe keine Ahnung, ob die nicht ohnehin angebrachter ist. Oder ob das ganze überhaupt Käse ist. Aber völlige Laien schreckt so etwas nicht ab, also habe ich mir eine Tabelle gebastelt und damit experimentiert:

  1. Die Standardabweichung allein sagt noch nicht viel aus. Eine Standardabweichung von 1,4 Punkten bedeutet bei einem Mittelwert von 2,5 Punkten etwas ganz anderes als die gleiche Abweichung bei einem Mittelwert von 5,5 Punkten.
  2. Das kann man ausgleichen, indem man mit dem Quotient aus Standardabweichung und Mittelwert oder maximal erreichbaren Punkten arbeitet. Ist das erlaubt? Holt mich gleich die Statistikpolizei?
  3. Wenn die Standardabweichung 0 ist, haben alle Schüler das gleiche Ergebnis. Wenn die Standardabweichung etwa gleich dem Mittelwert ist, dann gibt es eigentlich nur Extremwerte – entweder viel oder wenig Punkte und kaum etwas dazwischen.
  4. Über den Lösungsgrad einer Aufgabe sagt weder die Standardabweichung noch der Mittelwert etwas. Wenn 8 Punkte zu erreichen wären und sich die Leistungen aller Schüler schön auf die Punkte 0-4 verteilen, dann ist die Aufgabe schön differenzierend, aber trotzdem stimmt etwas nicht mit ihr.
  5. Schön verteilt – dazu weiter unten mehr – sind Ergebnisse dann, wenn der Quotient aus Standardabweichung und Mittelwert um die 0,5 beträgt. Oder der Quotient aus Standardabweichung und maximaler Punktezahl zwischen 0,25 und 0,35. Das sage ich jetzt einfach mal so. Das ist doch schon mal ein Ergebnis, mit dem ich meine Prüfungsaufgaben anschauen kann.

An der Stelle habe ich dann das Handtuch geworfen. Ich gebe auf. Passe. Hier sind die leicht veränderten Werte zu den einzelnen Aufgaben: wem eine schöne Formel einfällt, wie man aus Mittelwert, maximaler Punktzahl, Standardabweichung oder anderem Krimskram ablesen kann, ob einem die Aufgabe gelungen ist, der kann sie ja mitteilen. Vermutlich lernt man im 1. Semester Statistik schon, wie das geht, oder dass das ja mal überhaupt gar nicht geht.

Aufgabe: Max. Mittelw. Lösungsgr. Stabw Stabw/ Mittelw. Stabw/ Max Kommentar
A 3 2,55 85% 0,71 0,28 0,24 zu leicht
B 4 3,38 84% 0,86 0,26 0,22 sehr hoher Lösungsgrad, wenig Ausreißer
C 4 3,31 83% 0,85 0,26 0,21 sehr hoher Lösungsgrad, wenig Ausreißer
D 5 3,92 78% 1,04 0,27 0,21
E 5 3,35 67% 1,30 0,39 0,26 differenziert gut
F 6 4,01 67% 1,10 0,28 0,18
G 6 3,98 66% 1,33 0,33 0,22
H 6 3,81 63% 1,35 0,35 0,22
I 5 3,05 61% 1,11 0,37 0,22
J 4 2,32 58% 0,98 0,42 0,24 differenziert gut
K 4 1,47 37% 0,91 0,62 0,23 geringer Lösungsgrad, differenziert schlecht
L 4 1,39 35% 1,07 0,77 0,27 geringer Lösungsgrad, differenziert schlecht
M 4 1,16 29% 0,97 0,84 0,24 differenziert kaum, sehr ähnliche (schlechte) Werte

Ich habe aber auch deshalb aufgegeben, weil ich auf die darunter liegende unter viel wichtigere Frage gestoßen bin. Wann ist denn eine Verteilung von Punkten schön oder gelungen? Was will ich denn eigentlich erreichen mit einer Aufgabe?

Ah.

Oh.

Was will ich bei einer Aufgabe, für die ich 8 Punkte gebe: will ich, dass alle Schüler 7-8 Punkte kriegen, will ich eine Verteilung über das Spektrum 5-8 oder eine über 0-8? Oder will ich, dass es entweder 0 oder 8 Punkte gibt und nichts dazwischen? Warum? Es hilft natürlich nichts, zu sagen, dass es nicht darauf ankommt, was man als Lehrer will, sondern darauf, was die Schüler leisten. Denn natürlich hängt das Ergebnis dann doch von der Aufgabenstellung ab, ob man sich bewusst für eine entschieden hat oder nicht.

Eigentlich wollte ich meine Überlegungen hierzu auch noch in diesen Blogeintrag packen. Aber die sind dann so unpräzise und durcheinander geworden, dass ich ihnen lieber durch den in Bälde folgenden eigenen Eintrag zumindest den Anschein inneren Zusammenhangs geben möchte. (Vielleicht fällt ja jemand darauf herein.)

Die Normalverteilung, Teil 1

Aus Gründen, die ich in einem folgenden Blogeintrag erklären werde, habe ich mich neulich etwas mit der Normalverteilung beschäftigt. Die wird gerne mal von Lehrern und Eltern im Mund geführt. Ich entschuldige mich gleich vorab bei allen Statistik-Erstsemestern, für die das hier alles olle Kamellen sind. Und sicher habe ich auch einige Fehler in meinen Überlegungen; man darf mich gerne darauf hinweisen.

Nehmen wir mal an, wir haben 300 Spieler. Jeder Spieler würfelt 10 mal mit einem Würfel und zählt zusammen, was herauskommt. Es wird wahrscheinlich kaum einen Spieler geben, bei dem das Minimum 10 herauskommt oder das Maximum 60, einige mehr mit 20 oder 50, und viele mit Werten zwischen 30 oder 40.
Die Chancen für 10 1er oder 10 6er beim Würfeln stehen nämlich jeweils bei (1/6)10 zu 1, das heißt etwa 1,6 mal bei zehn Millionen Spielern. Das wird bei 300 Spielern also nur äußerst selten vorkommen. Tatsächlich wird eine Verteilung der Ergebnisse bei 300 Spielern eher so aussehen:

Bei diesem Diagramm – unten wird es noch ein anderes geben – stehen auf der x-Achse die möglichen Ergebnisse von 10 bis 60 und auf der y-Achse die Häufigkeit, wie oft dieses Ergebnis bei einem Versuch mit 300 Spielern erreicht wurde. Selbst bei 3000 Spielern sieht die vorgestellte Kurve übrigens noch sehr krumm aus. Der Mittelwert (Durchschnitt) aller Ergebnisse liegt bei 300 oder 3000 Spielern ziemlich genau bei 35.
Die Ergebnisse bei diesem Spiel sind außerdem normalverteilt, da jedes Ergebnis die Summe verschiedener voneinander unabhängiger Einzelergebnisse ist (nämlich den einzelnen Würfen).

Für solcherart verteilte Ergebnisse gibt es eine Funktion, die Normalverteilungsfunktion. Da kommt dann eine Kurve heraus, die so aussieht, wie man sie sich vorstellt. Ein Beispiel:

Der Mittelwert für diese Kurve liegt bei 35, am häufigsten treten Zahlen etwa zwischen 30 und 40 auf, und Ergebnisse unter 20 oder über 50 gibt es fast keine. Die gestrichelten Linien bedeuten Folgendes: 68,3% aller Ergebnisse befinden sich in diesem Bereich, also gut zwei Drittel. Das gilt für alle Normalverteilungskurven.
Um diese Funktion zu berechnen und darzustellen, braucht man zwei Parameter: die Standardabweichung und (optional) den Mittelwert.

Die Standardabweichung gibt quasi an, wie sehr sich die Ergebnisse in der Mitte der Kurve ballen, oder wenn man so will, wie steil die Kurve ist. Hier sind zwei Normalverteilungen mit jeweils unterschiedlicher Standardabweichung:


In beiden Kurven beträgt der Mittelwert 3,5. Beide sind normalverteilt, trotzdem unterscheiden sie sich: In der ersten Kurve beträgt die Standardabweichung σ etwa 0,8, ist also relativ gering. Deswegen häufen sich in der Kurve die Ergebnisse mehr in der Mitte als in der zweiten Kurve: Dort ist die Standardabweichung mit σ=1,4 etwas größer ist. Die Werte weichen also etwas mehr von einem Standard ab, die Kurve ist flacher. In beiden Kurven sind wieder die gestrichelten Linien eingezeichnet, innerhalb derer sich jweils gut zwei Drittel aller Ergebnisse befinden. (Die Linien ergeben sich jeweils aus dem Mittelwert +/- der Standardabweichung.)

Wir merken uns also erst einmal: es gibt nicht die Normalverteilung, sondern beliebig viele davon ab, die sich durch unterschiedliche Standardabweichungen unterscheiden. Die erste Kurve entspricht einer Schulaufgabe mit keinen 1er und 6ern, wenigen 2ern oder 5ern und vielen 3ern und 4ern. Die zweite Kurve entspricht einer Schulaufgabe mit wenigen 1er und 6ern, einigen 2ern und 5ern und mehr 3ern und 4ern. Beide Ergebnisse sind normalverteilt.

Wir merken uns außerdem: man muss die Kurven anders lesen als das erste Diagramm ganz oben. Die Höhe der Kurve sagt nichts über die absolute Anzahl der Teilnehmer mit den jeweiligen Ergebnissen aus. Selbst wenn ich die y-Achse mit Einheiten eingezeichnet hätte, könnte man das nicht. Kein Wunder: in die Kurve gehen als Information nur der Mittelwert und die Standardabweichung ein, nichts über die absolute Anzahl.

Wir merken uns drittens: der Mittelwert ist für die Kurve gar nicht so wichtig. Drei Schulaufgaben mit der Notenverteilung:

1 3x             1 -               1 -
2 12x            2 3x              2 -
3 12x            3 12x             3 3x
4 3x             4 12x             4 12x
5 -              5 3x              5 12x
6 -              6 -               6 3x

haben die gleiche Standardabweichung, die Kurve sieht gleich aus. Nur der Mittelwert ist anders, 2,50 im ersten, 3,50 im zweiten und 4,50 im zweiten Fall. Für die Grafik heißt das eigentlich nur, dass die Kurve etwas nach rechts oder links verschoben wird.

Ausprobieren und herumverschieben kann man das in folgendem kleinen Fenster. Aus technischen Gründen habe ich noch einen Faktor “Lupe” ergänzt, der eigentlich überhaupt gar nichts bei der Normalverteilungsfunktion zu suchen hat. Aber damit kann man sozusagen den Maßstab der y-Achse sozusagen anpassen, damit man leichter etwas sieht.

Zoomen geht (browserabhängig) mit den Tasten +/-. Von den Icons im Menü oben braucht man das ganz linke zum Verändern der Werte und das ganz rechte zum Verschieben der Funktionskurve.

– Was heißt das alles für die Schule? Nehmen wir zum Beispiel mal eine Englischschulaufgabe, die ich vor ein paar Jahren geschrieben habe. Sie bestand aus acht Teilaufgaben, bei denen jeweils so etwa zwischen 6 und 10 Punkten erreicht werden konnten, so dass die maximal mögliche Punktzahl 60 betrug. 29 Schüler hatten mitgeschrieben. Das Ergebnis sah so aus:

Wenn man davon ausgeht, dass diese Ergebnisse normalverteilt sind – also vor allem, wenn die Ergebnisse der einzelnen Teilaufgaben unabhängig voneinander sind (was auch immer das in diesem Fall genau heißt) – und wenn man mal ignoriert, dass 29 Datensätze zu wenig sind, um viel Sinnvolles darüber sagen zu können, dann ergeben die Daten eine Standardabweichung σ von 6,59. Zusammen mit dem Mittelwert von 45,6 Punkten gäbe das folgende Normalverteilungsfunktion:

Laut Kurve haben 68,3% der Schüler zwischen 39 und 52 Punkte, nach den erreichten Punkten waren es 66%. Die Kurve beschreibt also tatsächlich halbwegs die Ergebnisse, sofern man das bei so geringen Datenmengen überhaupt sagen will.

Die Schüler kriegen aber keine Punkte auf ihre Schulaufgaben, sondern Noten. Dazu werden die erreichten Punkte reduziert auf sechs Notenstufen. Dabei gibt es natürlich einige Rundungsfehler. Bei der Schulaufgabe damals kam heraus:

1 3x
2 6x
3 10x
4 8x
5 2x
6 -

Mittelwert 3,03 und Standardabweichung 1,15. Als Kurve:

Na ja, passt so ungefähr. Viel mehr Übereinstimmung ist nicht zu erwarten, wenn man aus 29 Zahlen von 1-6 (die mit Rundungsfehler ermittelt wurden aus anderen Zahlen, die vielleicht normalverteilt sind) eine Standardabweichung ermitteln will. Es macht nicht viel Sinn, schätze ich, das hier überhaupt zu tun. Sobald die Noten nicht mehr so hübsch symmetrisch verteilt sind, liegt auch keine Normalverteilung mehr vor.

– Wozu das ganze überhaupt? Als Vorbereitung für den nächsten Eintrag. Und um ein Scherflein dazu beizutragen, die Welt daran zu erinnern, dass man “Standard” mit “d” hinten schreibt.

Neben der Standardabweichung gibt es auch noch die Mittelabweichung. Die sagt aus, um wieviel die Werte durchschnittlich vom Mittelwert abweichen. Bei der Standardabweichung werden Ausreißer mehr berücksichtigt, denn bei der Mittelabweichung kann der gleiche Wert herauskommen, wenn a) sich alle Ergebnisse um die Mitte scharen oder b) sich alle Ergebnisse auf die Extreme verteilen.

Bildbeschreibung

Neulich beim Respizieren habe ich das folgende Thema gesehen. Bildbeschreibung, 45 Minuten, 7. Klasse, Bayern, Gymnasium. Einen sehr guten Beispielaufsatz schreibe ich darunter.


Jean-Baptiste Siméon Chardin, “Dame beim Tee”

Beschreibe das Gemälde “Dame beim Tee” von Jean-Baptiste Siméon Chardin aus dem Jahre 1735 nach den im Unterricht besprochenen Regeln und Vorgaben. Achte auf eine saubere äußere Form und sprachliche Korrektheit!

Aufsatz, in gänzlich unverbesserter Form:

Das 1735 entstandene Gemälde “Dame beim Tee” von Jean-Baptiste Siméon Chardin zeigt eine Frau, die in entspannter und ruhiger Haltung sitzend ihren Tee genießt.
Das Bild ist insgesamt mit matten und abgeschwächten Farben gestaltet, rechts im Vordergrund herrschhen eheer helle Mattgelb- und Rottöne vor, links im Hintergrund dunkle Schwarz- und Grautöne.
Das Licht fällt vielleicht durch ein Fenster, das oben links im Bild sein müsste, auf die Dame, auf die Rückenlehne von dem Stuhl und auf den Tisch. Links im Hintergrund ist die dunkelste Ecke des Bildes.
Die etwas rundliche Frau im Zentrum von der man die Beine nicht sieht hat sich mit leicht gekrümmtem Rücken auf einen Stuhl niedergelassen.
Die Dame streckt den Kopf leicht vor, es wirkt, wie wenn sie genussvoll den Duft des Tees einatmet. Ihr linker Arm ist auf dem Tisch rechts im Bild abgelegt, mit der rechten Hand hält sie zierlich den Teelöffel und rührt um. Beide Ellenbogen sind abgewinkelt.
Das gelockte kurze Haar der Dame ist schon grau, daraus lässt sich schließen, dass sie etwas älter ist. Sie hat eine spitze Nase und ein Doppelkinn, die Augen sind geschlossen, die Augenbrauen hochgezogen. Fast sieht sie aus, als ob sie meditiert.
Die Dame ist bekleidet mit einem schwarz-weiß gestreiften Kleid aus dickem, schweren Stoff, das ihre Rundlichkeit noch unterstreicht. Um die Schultern gelegt und um die Hüfte gebunden hat sie sich einen schwarzen Umhang mit blauer [durch Kopierfehler unlesbar] oder ein Tuch, das sich links kaum vom dunklen Hintergrund abhebt. An den Handgelenken sieht man Rüschen hervorschauen. Auf dem Kopf ist die Frau bedeckt mit einer weiß-blaufarbenen Haube, die aber ihren Hinterkopf freilässt. Das alles lässt darauf schließen, dass die Dame eine Person aus gehobener Schicht, vielleicht sogar eine Adelige ist.
Rechts im Hintergrund befindet sich der wuchtige, große rote Tisch. Eine Schublade ist leicht geöffnet. Auf ihm sind die dunkelrote, fast schwarze Kanne Tee und die mit Malereien verzierte Tasse samt Untertasse abgestellt. Da es aus der Tasse Tee noch herausdampft, lässt darauf schließen, dass die Adelige noch nicht lange hier sitzt.
Von dem Stuhl links im Vordergrund sieht man nur die Rückenlehne. Diese sieht aber dennoch elegant aus, da sie mit drei Holzbögen unterteilt ist. Den Hintergrund kann man nicht richtig erkennen.
Der Gesamteindruck des Gemäldes vermittelt eine ruhige und offene Stimmung; wer möchte nicht gerne mit der Dame tauschen und sich von einem anstrengenden Tag erholen?

(c) J.J. All rights reserved.

(Dieser Text steht nicht unter der üblichen CC-Lizenz hier, Weiterverwendung nur mit Erlaubnis der Autorin, über mich zu erreichen.)

Nachdem ich jetzt wieder weiß, was Schüler in 45 Minuten zustande bringen können, will ich mich nie wieder mit schlampigen Texten im Informatikunterricht abspeisen lassen.

Exkurs 1: Das Rechtliche

Bisher bin ich sehr schlampig mit dem Urheberrecht umgegangen, was Schülerproduktionen betrifft. Ich habe zwar die Schüler um Erlaubnis gefragt, sie in Unter- und Mittelstufe gebeten, auch den Eltern Bescheid zu sagen, aber das war es.
Seit meiner letzten Sequenz zum Urheberrecht sehe ich das etwas strenger. Also habe ich bei der Schülerin das so gemacht, wie ich das auch in Zukunft halten will:

  • die Schülerin mündlich um Erlaubnis fragen
  • der Schülerin und den Eltern ein Schreiben mitgeben, in dem ich um Erlaubnis bitte und auf Gefahren und Grenzen hinweise:
    1. die Verwertungsrechte bleiben bei den Inhabern, ich will den Text nur auf meiner Webseite veröffentlichen und werde kein Buch daraus machen
    2. niemand anderes darf den Text verwenden
    3. aber wenn der Text erst einmal veröffentlich und digital ist, dann kann er auch viel leichter gestohlen werden
    4. und außerdem könnte jemand kommentieren, dass er den Text ganz schlecht findet; das müssen Autoren aushalten
  • die Schülerin fragen, in welcher Form sie ihren Namen unter dem Text sehen möchte: gar nicht, Initialen, vollständiger Name
  • Schülerin und Eltern darauf hinweisen, dass ich gerne einen symbolischen Betrag für die Erlaubnis bezahle

Und das habe ich dann auch gemacht, einen Euro, auch wenn ich die Schülerin dazu überreden musste. So viel ist mir ein schöner Text inmeinem Blog sicher wert, und Schüler sollten auch sehen, dass ihre Produkte etwas wert sein können. Dass Intellectual Property wertvoll sein kann. (Mir gefällt das englische Wort besser, da bei property für mich mehr der Gedanke der Veräußerlichkeit mitschwingt als bei Eigentum.)

Bei Gelegenheit mache ich mal ein Formblatt aus meinem ersten Schreiben.

Exkurs 2: Die Bildbeschreibung

Das Standardthema bei der Bildbeschreibung in der Unterstufe ist ansonsten ja Spitzweg. Funktioniert auch gut, aber man liest sich ein bisschen satt an den Aufsätzen.


Carl Spitzweg, “Der arme Poet”

Das folgende Bild habe ich noch nie gemacht… aber schön wär’s schon, so ein Bild, das gleich eine Geschichte erzählt. Vielleicht nicht in der Unterstufe.


Antoine Wiertz, “Hunger, Wahnsinn, Verbrechen”

Hm. Vielleicht sollte man beim Aufsatzschreiben in der Oberstufe statt Gedichten graphische diskontinuierliche Texte (vulgo: Bilder) interpretieren lassen. Da lernt man ebenso das Hinschauen und muss seine Fähigkeiten nur an einem Text beweisen, dem eigenen, statt mit zweien zu kämpfen.

Vorgangsbeschreibung: Die Knalltüte

Zwischendrin zum Üben in der 6. Klasse, damit die Kinder auch genug Unfug lernen. Die Schüler haben die gezeichnete Anleitung gekriegt, aber das hat ihnen noch nicht gereicht zum Nachbauen – etwas Text dazu muss eben doch sein, etwas Erklärung, ein paar Temporalsätze und Final- oder Kausalsätze. Daher die Vorgangsbeschreibung.

Die Zeichnung habe ich selbst gemacht, da ich keine freien Zeichnungen fürs Blog gefunden habe. Ist vielleicht etwas einfach für die 6. Klasse, aber immerhin bringe ich ihnen auch die Fachausdrücke “Bergfalte” und “Talfalte” bei. Ein bisschen Origami sollte ohnehin jeder können.
Natürlich haben die Schüler danach nicht mehr viel Unterricht gemacht, sondern nur versucht, diese Knalltüte auch zum Knallen zu bringen. Ganz so einfach ist das auch nicht, man braucht schon etwas Schwung dazu. Die Jungs hatten keine Probleme, aber ein paar Mädchen schon.

Erste Informatikklausur: fertig erstellt

Es ist wie wenn man eine Reihe von Freunden und Bekannten zum Abendessen einlädt: Man schwankt immer wieder zwischen “alle werden hungern, das ist viel zu wenig” und “wer soll denn das bloß alles essen?”

Habe ich jetzt genug Aufgaben für eine Klausur von neunzig Minuten gestellt, oder viel zu wenige, oder ist das nie zu schaffen?

Bei Partys kann man ja immer noch ein paar Stück Fladenbrot in der Hinterhand haben; bei Klausuren geht das leider nicht.