Das Braess-Paradoxon

(Aus der Reihe: Alles muss raus. Angefangene Blogbeiträge des Jahrs 2008 aufräumen. Diesmal wohl nur für Mathematikfreunde.)

Vieles zum Braess-Paradoxon steht in Wikipedia. Auch die Illustrationen in diesem Blogbeitrag habe ich daraus genommen (Autor AlterVista, CC-BY 3.0, Details hitner demLink). Eigentlich wollte ich das selber und anders zeichnen, aber ich komme wohl doch nicht dazu.

Der Kern des scheinbaren Paradoxons ist der, dass eine Situation verschlechtert werden kann, wenn man eine weitere, optionale Alternative anbietet. Man baut zum Beispiel eine neue, zusätzliche Straße, und es gibt mehr Staus. Oder auch umgekehrt: man sperrt eine vorhandene Straße, und plötzlich kommen alle schneller voran.

Man stelle sich wie in dieser Zeichnung die vier Orte A, B, C und D vor. Verbunden sind sie auf folgende Weise durch Autobahnen (blau) beziehungsweise Landstraßen (gelb):

braess1

Die Landstraßen sind relativ kurz, verstopfen aber auch schneller bei viel Verkehr. Man braucht für die gelben Strecken also 10 mal x Minuten, wobei x die Anzahl der Autos auf der Strecke ist (in Tausendern, der Einfachkeit halber). Sind 2000 Autos unterwegs, braucht man 10 mal 2 Minuten, bei 4000 Autos sind es schon 40 Minuten.
Die blauen Strecken sind länger, aber besser ausgebaut und verstopfen nicht so schnell Man braucht für sie 50 plus x Minuten, wobei x wieder die Zahl der Autos auf der Strecke ist (in Tausendern). Bei 2000 Autos braucht man 52 Minuten, bei 4000 auch nur 54 Minuten.

Wenn Autofahrer von A nach D wollen, dann können sie die Route ACD nehmen oder ABD. Nehmen wir an, in einer Stunde wollen 6000 Autos von A nach D. Die Hälfte wird die eine Strecke nehmen, die andere Hälfte die andere. Der Wert von x ist also jeweils 3 (für 3000 Autos):

braess2

Fahrzeit für jedes Auto: (10 mal 3) + (50 plus 3), also 83 Minuten.

Jetzt wird eine zusätzliche Straße gebaut, ein Tunnel. Fahrzeit: 10 plus x Minuten. Man braucht nicht viel Zeit dafür, auch bei großer Verkehrsdichte.

braess3

Auch hier wird sich bald ein Gleichgewicht einpendeln. Unsere 6000 Fahrer von vorhin werden sich wieder so auf die Strecken verteilen, dass jeder gleich viel Zeit benötigt. Dabei werden jeweils 2000 Fahrer die Strecke ABD fahren, 2000 die Strecke ACD und die letzte 2000 Fahrer ABCD. Pro Stunde fahren 4000 Autos auf den Landstraßen und 2000 Fahrzeugen pro Stunde auf den Autobahnen und im neuen Tunnel:

braess4

Die Fahrdauer ist jetzt für alle 92 Minuten – neun Minuten länger als ohne die zusätzliche Strecke. Und wenn ein einzelner denkt, er fährt dann halt doch eine der anderen Strecken, dann wird er dort etwas länger brauchen als 92 Minuten (und die Fahrer auf seiner alten Strecke etwas weniger). Wenn alle Fahrer darauf verzichten würden, die neue Strecke zu benutzen, dann wären wieder alle bei 83 Minuten. Aber einer käme vielleicht doch in Versuchung, den Tunnel zu benutzen, und bräuchte nur 70 Minuten. Aber die anderen würden es ihm, so ist der Mensch, gleichtun, und wieder würde sich das Gleichgewicht bei 92 Minuten einpendeln.

(Parallelen zum Gefangenendilemma sind erkennbar.)

Für die Anwendbarkeit im echten Leben siehe Wikipedia. Interessant ist auch der Link dort zum Eisverkäufer-am-Strand-Problem.

Secret Government Warehouses

(Aus der Reihe: Alles muss raus. Angefangene Blogbeiträge des Jahres 2008 aufräumen.)

Die bekannteste Lagerhalle meiner Jugend ist die aus dem Ende von Raiders of the Lost Arc. Die Kamera fährt – das Ende von Citizen Kane zitierend – langsam über fast endlose Stapel von Kisten, großen und kleinen, alle behördlich bestempelt und eingestaubt. Auch die Bundeslade, das magische Artefakt, das Indiana Jones und seine Freunde den ganzen Film über viel Mühe und fast das Leben gekostet hat, findet dort anscheinend einen anscheinend endgültigen Ruheplatz. All die Arbeit, nur damit das Objekt dort unter Verschluss gehalten werden kann?

Angedeutet wird damit, dass all die anderen Kisten eben auch ähnliche Objekte enthalten. Und schon bald wurde das geheime government warehouse zum Topos bei Verschwörungstheoretikern und vor allem bei den kreativen Fans. (Wikipedia zu Secret Government Warehouse in Fiction.) Vor vielen Jahren ist mir im Usenet diese ASCII-Grafik begegnet:

+-----------------------------------------------------+----------------------+
|                                                     #                      |
| Area 'A' - Main Storage                             ! Area 'B'             |
|                                                     ! Refrigerated Storage |
|                                                     !                      |
| Assume a uniform ceiling height of 20m (60 ft)      !                      |
|                                                     !                      |
| Scale: 1 square = ~3m (10 ft)                       !                      |
|                                                     !                      |
| Legend:                                             !                      |
|   + Wall Intersection                               #                      |
|   - Horizontal, solid wall (armored)                +----------------------+
|   | Vertical, solid wall (armored)                  | Power Generators     |
|   O External security door (armored)                | and Refrigerators    |
|   = Huge external cargo door (armored)              +----------------------+
|   ! Mobile internal wall panel                      #                      |
|   # Human-sized door in a mobile wall panel         ! Area 'C'             |
|                                                     ! Powered Storage      |
|                                                     !                      |
|                                                     !                      |
|                                                     !                      |
|                                                     #                      |
+--============-----------------------============O---+----------------------+

Zu der Grafik gehört eine erklärende Datei, die beschreibt, welche Normkistengrößen es gibt, wie die Kisten aussehen, und vor allem: Eine lange, lange Liste davon, was in diesen Kisten drin ist. Hier ein Ausschnitt:

  • Ark of the Covenant
  • Engine that runs on tap water
  • Hundred of huge crates marked with the name Craig Shergold (containing Business cards and getwell cards by the million)
  • The UFO that purportedly crashed in the early ’50s in New Mexico
  • Amelia Earhart’s flight jacket
  • Big black slab collected by the Leakeys in Olduvai Gorge (and a femur found in orbit)
  • Jimmy Hoffa
  • A Cloudbuster (a rainmaking machine built by Wilhelm Reich – see the Kate Bush video “Cloudbusting”)
  • A box full of scrolls – written in Aramaic. Box says “Gnostic II.”
  • Ronald Reagan Mark I and the animatronics to make him work
  • A phone booth with an odd antenna on top, and a San Dimas, CA number
  • A blue British police call box
  • HAL 9000’s Failed Turing Test (He got a 57%!)
  • A book entitled “To Serve Man”
  • The gold from the lost Dutchman mine
  • The “sets and costumes” that were used to film the Apollo Moon Landing
  • An illuminated manuscript much like a Bible, along with a rabbit’s corpse and many pieces of shrapnel
  • A large emerald in the shape of a heart, confiscated from a fence in New York City
  • A listing of pi which gets to a long stretch of ones and then ends

Die Liste ist sehr lang, und von einem guten Teil der Dinge habe ich keine Ahnung, welche Geschichte eigentlich dahinter steckt. Aber so soll es auch sein. Angefangen hat diese Liste, so heißt es, auf einem Science-Fiction-Con im Jahr 1990. Im Web gibt es verschiedene Version davon, etwa Version 0.1 (von der ich auch die Grafik übernommen habe) und Version 1.2.1.


Exkurs: Ich habe nicht überprüft, ob die Versionsnummern tatsächlich korrekt sind, also aufeinander aufbauen. Allerdings wollte ich so etwas schon immer machen. Noch aus der Vor-WWW-Zeit habe ich einige Kopien, zum Teil nur in Fragmenten erhalten, von “30 Gründe, warum Bier besser ist als Frauen”. Für den Inhalt als solchen entschuldige ich mich. Interessant ist aber, die verschiedenen Versionen zu vergleichen. Ich habe zum Beispiel eine 100-Gründe-Fassung, die klar mit den 30-Gründe-Fassungen in meinem Besitz verwandt ist, aber nicht nur auf dieser aufbaut. Es muss noch mindestens eine zweite Quelle geben, die ebenfalls dafür verwendet wurde. Wenn ich jetzt eine größere Sammlung hätte, könnte ich versuchen, die Verwandschaftsverhältnisse zu rekonstruieren, so wie bei der Einordnung etwa der verschiedenen Handschriften des Nibelungenlieds. Der Fachausdruck dafür heißt übrigens Xeroxlore oder Faxlore:

Faxlore is a sort of folklore: humorous texts, folk poetry, folk art, and urban legends that are circulated, not by word of mouth, but by fax machine. Xeroxlore or photocopylore is similar material circulated by photocopying.


Steve Jackson Games ist die Firma, die uns Spiele wie Munchkin, Car Wars oder den Klassiker Illuminati! gebracht hat. Bei letzterem geht es um Verschwörungen, und SJG waren so nett, ein eigenes Warehouse 23 im Web einzurichten. Dort gibt es in mehreren Stockwerken viele hundert Kisten, die man aufmachen kann, um zu schauen, was darin verborgen gehalten wird. Gefüllt wird die Lagerhalle durch ein Redaktionsteam und E‑Mail-Einsendungen.

Mit einer Klasse könnte man mal eine solche Lagerhalle mit Objekten aus der deutschen Literatur füllen. Effi Briests Schaukel. Eine zerbrochene mechanische Figur eines weiblichen Automaten, zum Aufziehen. (Daneben eine Brille.) Ein teurer Mantel, professionell gearbeitet. En Serviertablett mit Deckel, darin ein paar Knochen wie von einem gebratenen Huhn, nur dass es wohl doch ein kleiner Greifvogel war.


– Keine Lagerhalle, sondern ein Museum kenne ich aus dem Englischstudium. Eine Ringvorlesung zu England, diesmal ging es um englische Kunst. Rudolf Beck war das damals, 1989 oder so. Den Kontakt zu ihm habe ich nicht aufrecht erhalten, daher ohne ihn gefragt zu haben, hier das Papier zum Vortrag. Den Blogeintrag habe ich zum Anlass genommen, mich bei ihm zu melden, und ich habe brav um die Erlaubnis zum Veröffentlichen gefragt. Statt einer Stichpunktliste gab es eine Führung im Imaginary Museum of English Art. Gefällt mir immer noch.

the_imaginary_museum_of_english_art

So sollte ein Blatt zum Referat aussehen.