{"id":1413,"date":"2009-01-02T17:50:46","date_gmt":"2009-01-02T16:50:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/?p=1413"},"modified":"2023-06-08T18:30:03","modified_gmt":"2023-06-08T16:30:03","slug":"das-braess-paradoxon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/2009\/01\/das-braess-paradoxon.htm","title":{"rendered":"Das Braess-Paradoxon"},"content":{"rendered":"

(Aus der Reihe: Alles muss raus. Angefangene Blogbeitr\u00e4ge des Jahrs 2008 aufr\u00e4umen. Diesmal wohl nur f\u00fcr Mathematikfreunde.)<\/p>\n

Vieles zum Braess-Paradoxon steht in Wikipedia<\/a>. Auch die Illustrationen in diesem Blogbeitrag habe ich daraus genommen (Autor AlterVista, CC-BY-SA 3.0<\/a>, Details hinter dem Link). Eigentlich wollte ich das selber und anders zeichnen, aber ich komme wohl doch nicht dazu.<\/p>\n

Der Kern des scheinbaren Paradoxons ist der, dass eine Situation verschlechtert werden kann, wenn man eine weitere, optionale Alternative anbietet. Man baut zum Beispiel eine neue, zus\u00e4tzliche Stra\u00dfe, und es gibt mehr Staus. Oder auch umgekehrt: man sperrt eine vorhandene Stra\u00dfe, und pl\u00f6tzlich kommen alle schneller voran.<\/p>\n

Man stelle sich wie in dieser Zeichnung die vier Orte A, B, C und D vor. Verbunden sind sie auf folgende Weise durch Autobahnen (blau) beziehungsweise Landstra\u00dfen (gelb):<\/p>\n

\"braess1\"<\/p>\n

Die Landstra\u00dfen sind relativ kurz, verstopfen aber auch schneller bei viel Verkehr. Man braucht f\u00fcr die gelben Strecken also 10 mal x Minuten<\/strong>, wobei x die Anzahl der Autos auf der Strecke ist (in Tausendern, der Einfachkeit halber). Sind 2000 Autos unterwegs, braucht man 10 mal 2 Minuten, bei 4000 Autos sind es schon 40 Minuten.
\nDie blauen Strecken sind l\u00e4nger, aber besser ausgebaut und verstopfen nicht so schnell Man braucht f\u00fcr sie 50 plus x Minuten<\/strong>, wobei x wieder die Zahl der Autos auf der Strecke ist (in Tausendern). Bei 2000 Autos braucht man 52 Minuten, bei 4000 auch nur 54 Minuten.<\/p>\n

Wenn Autofahrer von A nach D wollen, dann k\u00f6nnen sie die Route ACD nehmen oder ABD. Nehmen wir an, in einer Stunde wollen 6000 Autos von A nach D. Die H\u00e4lfte wird die eine Strecke nehmen, die andere H\u00e4lfte die andere. Der Wert von x ist also jeweils 3 (f\u00fcr 3000 Autos):<\/p>\n

\"braess2\"<\/p>\n

Fahrzeit f\u00fcr jedes Auto: (10 mal 3) + (50 plus 3), also 83 Minuten.<\/p>\n

Jetzt wird eine zus\u00e4tzliche Stra\u00dfe gebaut, ein Tunnel. Fahrzeit: 10 plus x Minuten<\/strong>. Man braucht nicht viel Zeit daf\u00fcr, auch bei gro\u00dfer Verkehrsdichte.<\/p>\n

\"braess3\"<\/p>\n

Auch hier wird sich bald ein Gleichgewicht einpendeln. Unsere 6000 Fahrer von vorhin werden sich wieder so auf die Strecken verteilen, dass jeder gleich viel Zeit ben\u00f6tigt. Dabei werden jeweils 2000 Fahrer die Strecke ABD fahren, 2000 die Strecke ACD und die letzte 2000 Fahrer ABCD. Pro Stunde fahren 4000 Autos auf den Landstra\u00dfen und 2000 Fahrzeugen pro Stunde auf den Autobahnen und im neuen Tunnel:<\/p>\n

\"braess4\"<\/p>\n

Die Fahrdauer ist jetzt f\u00fcr alle 92 Minuten – neun Minuten l\u00e4nger als ohne die zus\u00e4tzliche Strecke. Und wenn ein einzelner denkt, er f\u00e4hrt dann halt doch eine der anderen Strecken, dann wird er dort etwas l\u00e4nger brauchen als 92 Minuten (und die Fahrer auf seiner alten Strecke etwas weniger). Wenn alle Fahrer darauf verzichten w\u00fcrden, die neue Strecke zu benutzen, dann w\u00e4ren wieder alle bei 83 Minuten. Aber einer k\u00e4me vielleicht doch in Versuchung, den Tunnel zu benutzen, und br\u00e4uchte nur 70 Minuten. Aber die anderen w\u00fcrden es ihm, so ist der Mensch, gleichtun, und wieder w\u00fcrde sich das Gleichgewicht bei 92 Minuten einpendeln.<\/p>\n

(Parallelen zum Gefangenendilemma<\/a> sind erkennbar.)<\/p>\n

F\u00fcr die Anwendbarkeit im echten Leben siehe Wikipedia. Interessant ist auch der Link dort zum Eisverk\u00e4ufer-am-Strand-Problem<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

(Aus der Reihe: Alles muss raus. Angefangene Blogbeitr\u00e4ge des Jahrs 2008 aufr\u00e4umen. Diesmal wohl nur f\u00fcr Mathematikfreunde.) Vieles zum Braess-Paradoxon steht in Wikipedia. Auch die Illustrationen in diesem Blogbeitrag habe ich daraus genommen (Autor AlterVista, CC-BY-SA 3.0, Details hinter dem Link). Eigentlich wollte ich das selber und anders zeichnen, aber ich komme wohl doch nicht […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2170,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[86],"class_list":["post-1413","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-fundstuecke","tag-wissenschaftliches"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/braess1.png","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1413","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1413"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1413\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":58712,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1413\/revisions\/58712"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2170"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1413"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1413"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1413"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}