{"id":2254,"date":"2009-03-15T07:51:10","date_gmt":"2009-03-15T06:51:10","guid":{"rendered":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/?p=2254"},"modified":"2025-01-29T18:02:11","modified_gmt":"2025-01-29T17:02:11","slug":"richtig-grosse-zahlen-und-die-ackermannfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/2009\/03\/richtig-grosse-zahlen-und-die-ackermannfunktion.htm","title":{"rendered":"Richtig gro\u00dfe Zahlen (und die Ackermannfunktion)"},"content":{"rendered":"<div style='text-align:right;'><small>(<a href='https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/2009\/03\/richtig-grosse-zahlen-und-die-ackermannfunktion.htm#comments'>21 Kommentare.<\/a>)<\/small> <\/div>\n<p>Ein Blogeintrag f\u00fcr mich: Ein Thema hat mich interessiert, ich habe recherchiert und zusammengefasst, um es mir anzueignen. F\u00fcr die Leser, die dableiben: Es geht um richtig gro\u00dfe Zahlen. So gro\u00dfe, dass die Rechenarten Addition, Multiplikation und Potenzierung nicht reichen.<\/p>\n\n\n\n<p>Ein bisschen was zu den Rechenarten und wie sie zusammenh\u00e4ngen:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Die <strong>Addition<\/strong> ist eine der Grundrechenarten. Zum Beispiel: 1+2 oder 3+4.<\/li>\n\n\n\n<li>Nicht ganz so grundrechnend ist die <strong>Multiplikation<\/strong>, die quasi nur eine <strong>Abk\u00fcrzung f\u00fcr die mehrfache Addition<\/strong> ist:<br>3*4 ist ja nichts anderes als 3+3+3+3 (also vier 3er mit einem Plus dazwischen).<br><em>Fu\u00dfnote: 3*4 ist nat\u00fcrlich auch 4+4+4, aber aus Gr\u00fcnden, die in den n\u00e4chsten Zeilen klarer werden, lese ich hier von rechts nach links.<\/em><\/li>\n\n\n\n<li>Noch weniger grundrechnend ist die <strong>Potenzierung<\/strong>, die quasi nur eine <strong>Abk\u00fcrzung f\u00fcr die mehrfache Multiplikation<\/strong> ist:<br>3<sup>4<\/sup> ist ja nichts anderes als 3*3*3*3 (also vier 3er mit einem Mal dazwischen).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Und was kommt nach der Potenzierung? Gibt es auch eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr die mehrfache Potenzierung? Ja, gibt es. Die hei\u00dft <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Tetration\">Tetration<\/a>. Deshalb:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Noch weniger grundrechnend ist die <strong>Tetration<\/strong>, die quasi nur eine <strong>Abk\u00fcrzung f\u00fcr die mehrfache Potenzierung<\/strong> ist:<br><sup>4<\/sup>3 ist nichts anderes als 3<sup>3<sup>3<sup>3<\/sup><\/sup><\/sup> (also vier 3er mit einem Hoch dazwischen).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Und was kommt nach der Tetration? Wie auch immer es hei\u00dft, etwa 3 dingens 4, es wird quasi nur eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr die mehrfache Tetration sein. 3 dingens 4 ist nichts anderes als vier 3er mit einem Tetra dazwischen: <sup><sup><sup>3<\/sup>3<\/sup>3<\/sup>3. Aber sp\u00e4testens jetzt wird es mit der Schreibung und eventueller Klammersetzung extrem verwirrend.<\/p>\n\n\n\n<p>Also gut: Neue Schreibung. Zum Beispiel den <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Hyper-Operator\">Hyper-Operator<\/a>:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>3<sup>(1)<\/sup>4 ist 3+4=7, also die Addition, die unterste Ebene, wie oben.<\/li>\n\n\n\n<li>3<sup>(2)<\/sup>4 ist 3*4=12, die Multiplikation, eine Ebene dr\u00fcber.<\/li>\n\n\n\n<li>3<sup>(3)<\/sup>4 ist 3<sup>4<\/sup>=81, die Potenzierung, die n\u00e4chste Rechenoperation.<\/li>\n\n\n\n<li>3<sup>(4)<\/sup>4 ist <sup>4<\/sup>3=3<sup>7625597484987<\/sup> (der Rechner versagt), die Tetration.<\/li>\n\n\n\n<li>3<sup>(5)<\/sup>4 ist das, wo wir oben aufgeh\u00f6rt haben. Hei\u00dft manchmal Pentation.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Und nat\u00fcrlich kann man auch mit h\u00f6heren Zahlen weitermachen. Was etwa bei 3<sup>(20)<\/sup>4 herauskommt, kann man nicht mal im Ansatz begreifen.<br>Vielleicht hilft eine weitere Schreibweise, die <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Knuth%27s_up-arrow_notation\">Pfeilnotation<\/a> von Donald Knuth. Bei ihr gilt:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>3\u21914 ist dasselbe wie 3<sup>(3)<\/sup>4, also 3<sup>4<\/sup>.<\/li>\n\n\n\n<li>3\u2191\u21914 ist dasselbe wie 3<sup>(4)<\/sup>4, also <sup>4<\/sup>3. Man kann 3\u2191\u21914 auch schreiben als 3\u21913\u21913\u21913. Das ist die riesige Zahl von oben.<\/li>\n\n\n\n<li>3\u2191\u2191\u21914 ist dasselbe wie 3<sup>(5)<\/sup>4, auch zu schreiben als 3\u2191\u21913\u2191\u21913\u2191\u21913.<\/li>\n\n\n\n<li>3\u2191\u2191\u2191\u21914 ist dasselbe wie 3<sup>(6)<\/sup>4, auch zu schreiben als 3\u2191\u2191\u21913\u2191\u2191\u21913\u2191\u2191\u21913.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Und so weiter. Eine weitere Schreibweise ist die als Funktion. So wie man die Addition als Funktion schreiben kann &#8211; addition(a,b) &#8211; kann man auch den Hyper-Operator als Funktion schreiben: hyper<em>n<\/em>(a,b) = hyper(a,n,b) = a<sup>(n)<\/sup>b = a\u2191<sup>n-2<\/sup>b<\/p>\n\n\n\n<p>Man sieht, dass der Hyper-Operator sehr schnell sehr gro\u00dfe Zahlen erzeugt. Wie schnell und wie gro\u00df?<br>Im Zusammenhang mit dieser Frage und aus Gr\u00fcnden, auf die ich unten in einem Anhang eingehen werde, konstruierte 1926 Wilhelm Ackermann die <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Ackermannfunktion\">Ackermann-Funktion<\/a>. In Kreisen der theoretischen Informatik ist sie sehr bekannt; praktisch findet sie wenig Anwendung &#8211; allerdings wird sie manchmal als Benchmark f\u00fcrs Testen von Computern benutzt. Daf\u00fcr ist sie geeignet, weil sie sehr schnell sehr viel Rechenzeit erfordert. Die Ackermann-Funktion ist ber\u00fchmt daf\u00fcr, dass sie sehr, sehr schnell gro\u00dfe Werte erzeugt. Die Ackermann-Funktion wurde entworfen, um folgende Bedingungen zu erf\u00fcllen:<\/p>\n\n\n\n<p>ack(a,b,1) = a*b (Multiplikation)<br>ack(a,b,2) = a<sup>b<\/sup> (Potenzierung)<br>ack(a,b,3) = <sup>b<\/sup>a (Tetration)<\/p>\n\n\n\n<p>Und so weiter. Das ist jetzt aber noch keine Definition der Funktion, das ist nur eine Beschreibung ihrer Eigenschaften und ihres Bauprinzips. Die eigentliche Funktionsdefinition sah anders aus. Inzwischen ist sie mehrfach vereinfacht worden. Die heute verbreitete Funktionsdefinition erf\u00fcllt immer noch das allgemeine Bauprinzip, kommt aber mit zwei Argumenten aus und rekursiv definiert so aus:<\/p>\n\n\n\n<p>ack(n,m)<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>ack(0, m) = m+1<\/li>\n\n\n\n<li>ack(n+1, 0) = ack(n,1)<\/li>\n\n\n\n<li>ack(n+1, m+1) = ack(n, ack(n+1,m))<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>Die erste Zeile wendet man an, wenn mindestens der erste Funktionsparameter 0 ist, die zweite Zeile, wenn genau der zweite Parameter 0 ist, die dritte in allen anderen F\u00e4llen. Die Funktion ist rekursiv definiert, das hei\u00dft zum Beispiel, dass man ack(1,0) erst ausrechnen kann, wenn man vorher ack(0,1) ausgerechnet hat (laut Zeile 2), was wiederum gleich 2 ist (laut Zeile 1).<\/p>\n\n\n\n<p>Um ack(<strong>2,1<\/strong>) auszurechnen, muss man erst ack(1,ack(<strong>2,0<\/strong>)) (Zeile 3) ausrechnen,<br>was sich ist ack(1,ack(<strong>1,1<\/strong>)) (Zeile 2),<br>was sich ist ack(1,ack(0,ack(<strong>1,0<\/strong>))) (wieder Zeile 3),<br>was sich ist ack(1,ack(0,ack(<strong>0,1<\/strong>))) (Zeile 2),<br>was sich ist ack(1,ack(<strong>0,2<\/strong>)) (Zeile 1),<br>was sich ist ack(<strong>1,3<\/strong>) (Zeile 1),<br>was sich ist ack(0,ack(<strong>1,2<\/strong>)) (Zeile 3),<br>was sich ist ack(0,ack(0,ack(<strong>1,1<\/strong>))) (Zeile 3),<br>was sich ist ack(0,ack(0,ack(0,ack(<strong>1,0<\/strong>))) (Zeile 3),<br>was sich ist ack(0,ack(0,ack(0,ack(<strong>0,1<\/strong>))) (Zeile 2),<br>was sich ist ack(0,ack(0,ack(<strong>0,2<\/strong>)) (Zeile 1),<br>was sich ist ack(0,ack(<strong>0,3<\/strong>)) (Zeile 1),<br>was sich ist ack(<strong>0,4<\/strong>) (Zeile 1),<br>was sich ist <strong>5<\/strong> (Zeile 1).<\/p>\n\n\n\n<p>Puh. Viel Rechenarbeit, aber wenn man es mal selber durchexerziert hat, erkennt man das Prinzip dahinter. Beispiele f\u00fcr das Wachstum der Ackermannfunktion:<\/p>\n\n\n\n<p>ack(4,0) = 13<br>ack(4,1) = 65533<br>ack(4,2) = 2<sup>65536<\/sup>-3 (eine Zahl mit 19727 Dezimalstellen).<\/p>\n\n\n\n<p>Oft meint man, wenn man vom Wachstum der Ackermannfunktion spricht, die Funktion f(n) = ack(n,n). Deren erste Werte sind:<\/p>\n\n\n\n<p>f(0) = ack(0,0) = 1<br>f(1) = ack(1,1) = 3<br>f(2) = ack(2,2) = 7<br>f(3) = ack(3,3) = 61<br>f(4) = ack(4,4) = ack(3,2<sup>65536<\/sup>\u2212 3) &#8211; zu gro\u00df, um sie anders darzustellen.<\/p>\n\n\n\n<p>Wie m\u00fcssen dann erst ack(5,5) oder ack(6,6) oder noch gr\u00f6\u00dfere Zahlen ausschauen? The mind boggles. Dass die Ackermannfunktion so schnell w\u00e4chst, ist um so interessanter, als die einzige Rechnung, die darin vorkommt, die Addition um den Wert 1 ist. Die hohen Werte kommen nur von der massiven Rekursion, dem wiederholten und wiederholten und wiederholten Aufruf der Funktion.<\/p>\n\n\n\n<p>Hier sieht man, was die Ackermannfunktion mit dem Hyper-Operator und mit den Grundrechenarten zu tun hat, mit denen dieser Blogeintrag angefangen hat:<br>ack(n,m) = hyper(2,n,m+3)-3<br>Das ist ein bisschen mathematisch. Deshalb hier ausformuliert:<\/p>\n\n\n\n<p>ack(0,m) = m+1<br>ack(<strong>1<\/strong>,m) = (2 <strong>plus <\/strong>(m+3)) -3<br>ack(<strong>2<\/strong>,m) = (2 <strong>mal <\/strong>(m+3)) -3<br>ack(<strong>3<\/strong>,m) = (2 <strong>hoch <\/strong>(m+3)) -3<br>ack(<strong>4<\/strong>,m) = (2 \u2191\u2191 (m+3)) -3<br>ack(<strong>5<\/strong>,m) = (2 \u2191\u2191\u2191 (m+3)) -3<\/p>\n\n\n\n<p>Inzwischen wurden Funktionen gefunden, die noch schneller wachsen als die Ackermann-Funktion. Auch dazu steht unten noch ein Anhang.<\/p>\n\n\n\n<p>Jetzt noch ein paar Zuckerst\u00fcckchen f\u00fcr die Leser, die durchgehalten haben:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Eine erw\u00e4hnenswert gro\u00dfe Zahl ist <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Grahams_Zahl\">Grahams Zahl<\/a>, &#8222;die gr\u00f6\u00dfte jemals in einem mathematischen Beweis [sinnvoll] verwendete Zahl&#8220;. Die Zahl ist so gro\u00df, dass man sie auch mit dem Hyper-Operator nicht sinnvoll hinschreiben kann.<\/li>\n\n\n\n<li>Wie komme ich auf diesen Kram? Unter anderem \u00fcber diese <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Liste_besonderer_Zahlen\">Liste besonderer Zahlen<\/a> in der Wikipedia.<\/li>\n\n\n\n<li>Oben habe ich die ersten Ackermann-Werte f\u00fcr ack(n,n) angegeben: 1, 3, 7, 61 &#8211; die n\u00e4chste Zahl ist bereits zu gro\u00df. Einfacher ist diese ber\u00fchmte Zahlenreihe: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 &#8211; welche Zahl kommt da als n\u00e4chste? Man muss nur wissen, wo man nachschaut, in der <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences\">On-Line Encylopedia of Integer Sequences<\/a> (Wikipedia, hier der <a href=\"http:\/\/www.research.att.com\/~njas\/sequences\/index.html?language=german\">direkte Link zum Eingabefeld<\/a>). Das ist ein Nachschlagewerk f\u00fcr Zahlreihen. Man gibt einen Ausschnitt aus einer solchen Reihe ein, und die Enzyklop\u00e4die spuckt aus, wo in der Mathematik diese Reihe auftaucht.<\/li>\n\n\n\n<li>F\u00fcr Fans gro\u00dfer Zahlen: So <em>mindboggling<\/em> wie die Zahlen oben sind, noch viel, viel gr\u00f6\u00dfer ist <a href=\"http:\/\/lab6.com\/old\/school\/yearbook\/clarkkkkson.html\">The Clarkkkkson<\/a>. Ausgangspunkt waren abzuschreibende Zeilen als Strafe im Unterricht (&#8222;Lynz&#8220; = lines), drumrumgebastelt wurde mit Hyper-Operatoren und Hyper-Fakult\u00e4t, herausgekommen ist eine Zahl, die immer noch unvorstellbarer gro\u00df wird. Wer&#8217;s mag, der liest das wie eine immer mit sich selber wetteifernde L\u00fcgen- und \u00dcbertreibungs-Geschichte. (Aber das bin vermutlich nur ich.) Und doch ist The Clarkkkkson immer noch genauso weit von unendlich entfernt wie jede andere Zahl. Am Schluss des Aufsatzes steht ein Aufruf, selber noch auf anderen, vergleichbaren Wegen eine noch gr\u00f6\u00dfere Zahl zu erfinden. Ich k\u00f6nnt&#8217;s nicht, klingt aber nach einem Facharbeitsthema.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p><strong>ANHANG 1: Primitiv-rekursive Funktionen.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Tats\u00e4chlich ist auch die Addition, mit der oben alles angefangen hat, gar nicht so grundlegend, sondern kann auf weitere, noch primitivere Rechenformen zur\u00fcckgef\u00fchrt werden. Alle Funktionen, die auf diese primitiven Rechenoperationen zur\u00fcckgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen, hei\u00dfen <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Primitiv-rekursive_Funktion\">primitiv-rekursive Funktionen<\/a>. (Was genau diese grundlegenden Formen sind, w\u00fcrde jetzt verwirren. Zumindest mich.)<br>Zu diesen primitiv-rekursiven Funktionen geh\u00f6rt alles, was man sich so im Alltag und um den Alltag herum unter einer Funktion vorstellt. Dazu geh\u00f6rt eben auch die Summenfunktion add(a,b). Und demnach auch die Multiplikationsfunktion multi(a,b). Und demnach auch die Potenzfunktion pot(a,b). Und die Tetration tetra(a,b). Und so weiter.<br>All diese Funktionen kann man mit einem nicht-rekursiven Computerprogramm berechnen, das nicht viel mehr enthalten muss als Addition und Subtraktion, als Variablen und eine Z\u00e4hlschleife &#8211; also eine Schleife, bei der man am Anfang sagt: wiederhole 4 mal, oder 5 mal, oder wieviel auch immer.<br>Die Frage war nun: Gibt es Funktionen, die nicht primitiv-rekursiv sind? Die man <em>nicht<\/em> mit einem solchen Computerprogramm berechnen kann? Die Ackermann-Funktion ist eine solche Funktion und sollte genau das demonstrieren. Um die Ackermann-Funktion imperativ zu programmieren, braucht man eine while-Schleife, mit Z\u00e4hlschleife ist das nicht m\u00f6glich. Sie w\u00e4chst zu schnell.<br>Die Ackermann-Funktion geh\u00f6rt zu den \u03bc-rekursiven Funktionen. Die \u03bc-rekursiven Funktionen sind alle die, die man mit einer Turingmaschine berechnen kann und umgekehrt, und ebenso die while-berechenbaren Funktionen, und umgekehrt.<\/p>\n\n\n\n<p>Manche Funktionen wachsen so schnell, dass man sie nicht mal mehr damit berechnen kann. Zum Beispiel die Sache mit dem flei\u00dfigen Biber.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p><strong>ANHANG 2: <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Flei%C3%9Figer_Biber\">Flei\u00dfige Biber<\/a>.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Die Erkl\u00e4rung, was eine Turingmaschine ist, k\u00fcndige ich immer wieder an. Irgendwann kommt das auch noch. Kurz: Es ist eine bestimmte Art erdachter Maschine, die man auch <a href=\"http:\/\/www.youtube.com\/watch?v=cYw2ewoO6c4\">aus Legosteinen<\/a> oder was auch immer konstruieren kann, die man sich aber meist nur als Simulation auf dem Computer oder als Definition auf dem Papier anschaut.<br>Zur Definition, und quasi zur Programmierung dieser Maschine, geh\u00f6rt eine beliebig gro\u00dfe Reihe von Zust\u00e4nden, die die Maschine einnehmen kann. Anhand dieser Zust\u00e4nde schreibt die Maschine dann Zeichen auf ein prinzipiell endloses Band, \u00e4hnlich wie ein Fernschreiber.<\/p>\n\n\n\n<p>Die Frage ist nun: Wie oft kann eine Turingmaschine mit n Zust\u00e4nden und als einzigen m\u00f6glichen Zeichen {0, 1} das Zeichen 1 das Band schreiben? Es ist leicht, Turingmaschinen zu programmieren, die unendlich viele 1er schreiben, aber die z\u00e4hlen nicht.<\/p>\n\n\n\n<p>Antwort:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Eine Turingmaschine mit 1 Zustand und dem Alphabet {0,1} kann das Zeichen 1 maximal 1mal aufs Band schreiben. (Eine Maschine, die das auch tut, hei\u00dft &#8222;flei\u00dfiger Biber&#8220;.)<\/li>\n\n\n\n<li>Eine Turingmaschine mit 2 Zust\u00e4nden kann das Zeichen 1 maximal 4mal aufs Band schreiben. (Eine Maschine, die das auch tut, hei\u00dft &#8222;flei\u00dfiger Biber&#8220;.)<\/li>\n\n\n\n<li>Eine Turingmaschine mit 3 Zust\u00e4nden kann das Zeichen 1 maximal 6mal aufs Band schreiben. (Eine Maschine, die das auch tut, hei\u00dft &#8222;flei\u00dfiger Biber&#8220;.)<\/li>\n\n\n\n<li>Eine Turingmaschine mit 4 Zust\u00e4nden kann das Zeichen 1 maximal 13mal aufs Band schreiben. (Eine Maschine, die das auch tut, hei\u00dft &#8222;flei\u00dfiger Biber&#8220;.)<\/li>\n\n\n\n<li>Eine Turingmaschine mit 5 Zust\u00e4nden kann das Zeichen 1 maximal&#8230; man wei\u00df es nicht. Mindestens 4098mal, aber ist das bereits ein flei\u00dfiger Biber oder gibt es noch bessere Maschinen?<\/li>\n\n\n\n<li>Eine Turingmaschine mit 6 Zust\u00e4nden kann das Zeichen 1 maximal&#8230; man wei\u00df es nicht. Auf jeden Fall mehr als 4,64\u00d710<sup>1439<\/sup>mal.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>(<a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Flei%C3%9Figer_Biber\">Alle Daten aus Wikipedia<\/a>.)<\/p>\n\n\n\n<p>Die Flei\u00dfiger-Biber-Funktion biber(n) gibt an, wieviele 1er eine Turingmaschine mit n Zust\u00e4nden und dem Alphabet {0,1} aufs Band schreiben kann. Diese Funktion ist sauber definiert, aber nicht berechenbar; sie w\u00e4chst schneller als jede berechenbare Funktion. Das kapiere ich noch nicht ganz, wird aber wohl stimmen.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p><strong>ANHANG 3: Noch mehr zur Ackermannfunktion.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ich komme nicht los von ihr. Gerade habe ich zwei Seiten vollgekritzelt, mit Bleistift, mit Berechnungen f\u00fcr verschiedene Ausgangswerte. Langsam d\u00e4mmert es. Mathematische Zusammenh\u00e4nge kann man sich \u00e4hnlich erschlie\u00dfen wie Gedichte, und ich finde sie \u00e4hnlich sch\u00f6n.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>ack(0,m) ist immer gleich m+1. Das ist sozusagen die Sukzession, die Nachfolgerfunktion: ack(0,8) ist 9, ack(0, 20) ist 21.<\/li>\n\n\n\n<li>ack(1,3) hat etwas mit Addition zu tun &#8211; daf\u00fcr steht der erste Parameter, die 1.<br>ack(<strong>1,3<\/strong>) =<br>ack(0,(ack(<strong>1,2<\/strong>)) =<br>ack(0,ack(0,ack(<strong>1,1<\/strong>))) =<br>ack(0,ack(0,(ack(0,ack(<strong>1,0<\/strong>)))) =<br>ack(0,ack(0,(ack(0,ack(0,1)))) &#8211; der zweite Parameter, hier die 3, gibt also an, wie oft die Sukzessor-Funktion aufgerufen wird (und zwar, indem der Parameter bei jedem Aufruf um eins verringert wird), bis die ganze Reihe nur noch aus Sukzessor-Funktionen besteht. Die Addition wird also auf wiederholte Sukzession zur\u00fcckgef\u00fchrt.<\/li>\n\n\n\n<li>\u00c4hnlich wird die Multiplikation ack(2,m) auf die wiederholte Addition zur\u00fcckgef\u00fchrt: ack(2,1) f\u00fchrt irgendwann zu ack(1,3) f\u00fchrt irgendwann zu ack(0,4) = 5. Oder: ack(2,2) f\u00fchrt irgendwann zu ack(1,5) f\u00fchrt irgendwann zu ack(0,6) = 7. Und: ack(2,3) = ack(1,9) = ack(0,10) = 11.<br>Ausf\u00fchrlicher:<br>ack(<strong>2,3<\/strong>) =<br>ack(1,(ack(<strong>2,2<\/strong>)) =<br>ack(1,(ack(1,ack(1,(<strong>2,1<\/strong>)) =<br>ack(1,(ack(1,ack(1,ack(<strong>2,0<\/strong>))<br>Also so \u00e4hnlich wie oben, nur doch anders.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Nachvollziehen kann man das erst, f\u00fcrchte ich, wenn man auch zwei Seiten vollgekritzelt hat. Muss aber wirklich nicht sein wegen mir.<\/p>\n\n\n\n<p>Auch grafisch kann man die Ackermannfunktion auf sich wirken lassen. Hier ist <s>(mit Lupe)<\/s> die vermutlich auch noch fraktale Ausformulierung von ack(3,2):<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><a href=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ack32_gross.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"2321\" height=\"7444\" src=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ack32_gross.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2280\" srcset=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ack32_gross.png 2321w, https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ack32_gross-319x1024.png 319w\" sizes=\"auto, (max-width: 2321px) 100vw, 2321px\" \/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ack32.txt\">(ack(3,2) als Textdatei herunterladen)<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>Besonders die jeweils letzte Ziffer ist beachtenswert.<br>F\u00fcr mich ist das Versuchen, die unverkennbare Ordnung hinter den Zeichen zu begreifen, vergleichbar mit dem Versenken in ein Yantra (eine Art Mandala nur mit geometrischen Formen) wie dieses hier:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"324\" height=\"320\" src=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/sri_yantra.png\" alt=\"sri_yantra\" class=\"wp-image-2284\" title=\"sri_yantra\" srcset=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/sri_yantra.png 324w, https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/sri_yantra-150x148.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 324px) 100vw, 324px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>(Quelle: <a href=\"http:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Sri_Yantra_256bw.gif\">Wikipedia<\/a>, Autor: N.Manytchkine, unter <a href=\"https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/2.5\/deed.en\">CC AT-SA 2.5<\/a> und weiteren Lizenzen) Nicht dass ich mich damit je l\u00e4nger als ein paar Minuten besch\u00e4ftigt h\u00e4tte. Es hat ein wenig von: &#8222;wie viele Dreiecke sind in dieser Zeichnung enthalten&#8220;?<\/p>\n\n\n\n<p>Und zuletzt kann man auch noch die Zeichenketten einfach als solche betrachten. Mit den folgenden Regeln kann man sich Ackermann-Aufrufe \u00fcbersetzen:<br>&#8222;ack&#8220; =&gt; 2<br>&#8222;1,&#8220; =&gt; plus<br>&#8222;2,&#8220; =&gt; mal<br>&#8222;3,&#8220; =&gt; hoch<br>jede Zahl direkt nach einem Komma (es gibt genau eine einzige davon pro Zeile) wird um 3 erh\u00f6ht.<br>Am Zeilenende schreibt man noch mal -3 hin und setzt Klammern um das vorhergehende..<\/p>\n\n\n\n<p>Damit gilt:<br><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2285\" title=\"ackermann\" src=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ackermann.jpg\" alt=\"ackermann\" width=\"400\" height=\"323\" srcset=\"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ackermann.jpg 400w, https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ackermann-150x121.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n\n\n\n<p>Also 29.<br>Ich h\u00f6re jetzt mal auf damit, bevor man mich noch des Wahnsinns verd\u00e4chtigt.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p>Allerletzter Nachtrag, versprochen:<\/p>\n\n\n\n<p>Die 3. Zeile der Funktionsdefiniton lautet:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>ack(n+1, m+1) = ack(n, ack(n+1,m))<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Und jetzt verstehe ich sie fast. Ich setze ein paar Zahlen und Zeichen ein:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>ack(2, 4) = ack(1, ack(2,3))<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>und ersetze zur Veranschaulichung das erste Argument durch das gemeinte Rechenzeichen:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>ack(*, 4) = ack(+, ack(*,3))<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Und das hei\u00dft dann vereinfacht: Die x-fache Multplikation von 2 ist gleich 2 plus die (x-1)-fache Multiplikation von 2, etwa:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>2*4 = 2+(2*3)<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Oder mit einem h\u00f6heren ersten Argument.<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>2 hoch 7 = 2 mal (2 hoch 6)<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Und mit diesem Kellnerpunkt soll jetzt endg\u00fcltig Schluss sein.<\/p>\n\n\n\n<p><small>Kellnerpunkt: &#8222;Er ergab sich immer dann, wenn ein pomp\u00f6s \u00fcberdrehtes Gespr\u00e4ch aus den H\u00f6hen seiner Selbstgef\u00e4lligkeit zu einer entlarvend primitiven Schlu\u00dffolgerung abglitt, die sogar dem Kellner einleuchten mu\u00dfte.&#8220; (Friedrich Torberg, aus der <a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Die_Tante_Jolesch\">Tante Jolesch<\/a>. Will nichts gegen Kellner gesagt haben, es ist halt so, dass der halt nur den Schlusspunkt der Diskussion mitkriegt.)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>(21 Kommentare.) Ein Blogeintrag f\u00fcr mich: Ein Thema hat mich interessiert, ich habe recherchiert und zusammengefasst, um es mir anzueignen. F\u00fcr die Leser, die dableiben: Es geht um richtig gro\u00dfe Zahlen. So gro\u00dfe, dass die Rechenarten Addition, Multiplikation und Potenzierung nicht reichen. Ein bisschen was zu den Rechenarten und wie sie zusammenh\u00e4ngen: Und was kommt [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2280,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[25,195],"tags":[227],"class_list":["post-2254","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-informatik","category-lieblingseintraege","tag-informatik"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/archiv\/ack32_gross.png","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2254","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2254"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2254\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":64224,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2254\/revisions\/64224"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2280"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2254"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2254"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2254"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}