{"id":2744,"date":"2010-03-29T06:58:06","date_gmt":"2010-03-29T04:58:06","guid":{"rendered":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/?p=2744"},"modified":"2023-06-23T06:44:55","modified_gmt":"2023-06-23T04:44:55","slug":"die-normalverteilung-teil-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/2010\/03\/die-normalverteilung-teil-1.htm","title":{"rendered":"Die Normalverteilung, Teil 1"},"content":{"rendered":"
(16 Kommentare.<\/a>)<\/small> <\/div>\n

Aus Gr\u00fcnden, die ich in einem folgenden Blogeintrag erkl\u00e4ren werde, habe ich mich neulich etwas mit der Normalverteilung besch\u00e4ftigt. Die wird gerne mal von Lehrern und Eltern im Mund gef\u00fchrt. Ich entschuldige mich gleich vorab bei allen Statistik-Erstsemestern, f\u00fcr die das hier alles olle Kamellen sind. Und sicher habe ich auch einige Fehler in meinen \u00dcberlegungen; man darf mich gerne darauf hinweisen.<\/p>\n\n\n\n

Nehmen wir mal an, wir haben 300 Spieler. Jeder Spieler w\u00fcrfelt 10 mal mit einem W\u00fcrfel und z\u00e4hlt zusammen, was herauskommt. Es wird wahrscheinlich kaum einen Spieler geben, bei dem das Minimum 10 herauskommt oder das Maximum 60, einige mehr mit 20 oder 50, und viele mit Werten zwischen 30 oder 40.
Die Chancen f\u00fcr 10 1er oder 10 6er beim W\u00fcrfeln stehen n\u00e4mlich jeweils bei (1\/6)10<\/sup> zu 1, das hei\u00dft etwa 1,6 mal bei zehn Millionen Spielern. Das wird bei 300 Spielern also nur \u00e4u\u00dferst selten vorkommen. Tats\u00e4chlich wird eine Verteilung der Ergebnisse bei 300 Spielern eher so aussehen:<\/p>\n\n\n\n

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Bei diesem<\/em> Diagramm – unten wird es noch ein anderes geben – stehen auf der x-Achse die m\u00f6glichen Ergebnisse von 10 bis 60 und auf der y-Achse die H\u00e4ufigkeit, wie oft dieses Ergebnis bei einem Versuch mit 300 Spielern erreicht wurde. Selbst bei 3000 Spielern sieht die vorgestellte Kurve \u00fcbrigens noch sehr krumm aus. Der Mittelwert (Durchschnitt) aller Ergebnisse liegt bei 300 oder 3000 Spielern ziemlich genau bei 35.
Die Ergebnisse bei diesem Spiel sind au\u00dferdem normalverteilt, da jedes Ergebnis die Summe verschiedener voneinander unabh\u00e4ngiger Einzelergebnisse ist (n\u00e4mlich den einzelnen W\u00fcrfen).<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr solcherart verteilte Ergebnisse gibt es eine Funktion, die Normalverteilungsfunktion. Da kommt dann eine Kurve heraus, die so aussieht, wie man sie sich vorstellt. Ein Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

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Der Mittelwert f\u00fcr diese Kurve liegt bei 35, am h\u00e4ufigsten treten Zahlen etwa zwischen 30 und 40 auf, und Ergebnisse unter 20 oder \u00fcber 50 gibt es fast keine. Die gestrichelten Linien bedeuten Folgendes: 68,3% aller Ergebnisse befinden sich in diesem Bereich, also gut zwei Drittel. Das gilt f\u00fcr alle Normalverteilungskurven.
Um diese Funktion zu berechnen und darzustellen, braucht man zwei Parameter: die Standardabweichung und (optional) den Mittelwert.<\/p>\n\n\n\n

Die Standardabweichung gibt quasi an, wie sehr sich die Ergebnisse in der Mitte der Kurve ballen, oder wenn man so will, wie steil die Kurve ist. Hier sind zwei Normalverteilungen mit jeweils unterschiedlicher Standardabweichung:<\/p>\n\n\n\n

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In beiden Kurven betr\u00e4gt der Mittelwert 3,5. Beide sind normalverteilt, trotzdem unterscheiden sie sich: In der ersten Kurve betr\u00e4gt die Standardabweichung \u03c3 etwa 0,8, ist also relativ gering. Deswegen h\u00e4ufen sich in der Kurve die Ergebnisse mehr in der Mitte als in der zweiten Kurve: Dort ist die Standardabweichung mit \u03c3=1,4 etwas gr\u00f6\u00dfer ist. Die Werte weichen also etwas mehr von einem Standard ab, die Kurve ist flacher. In beiden Kurven sind wieder die gestrichelten Linien eingezeichnet, innerhalb derer sich jeweils gut zwei Drittel aller Ergebnisse befinden. (Die Linien ergeben sich jeweils aus dem Mittelwert +\/- der Standardabweichung.)<\/p>\n\n\n\n

Wir merken uns also erst einmal:<\/strong> es gibt nicht die<\/em> Normalverteilung, sondern beliebig viele davon, die sich durch unterschiedliche Standardabweichungen unterscheiden. Die erste Kurve entspricht einer Schulaufgabe mit keinen 1er und 6ern, wenigen 2ern oder 5ern und vielen 3ern und 4ern. Die zweite Kurve entspricht einer Schulaufgabe mit wenigen 1er und 6ern, einigen 2ern und 5ern und mehr 3ern und 4ern. Beide Ergebnisse sind normalverteilt.<\/p>\n\n\n\n

Wir merken uns au\u00dferdem:<\/strong> man muss die Kurven anders lesen als das erste Diagramm ganz oben. Die H\u00f6he der Kurve sagt nichts \u00fcber die absolute Anzahl der Teilnehmer mit den jeweiligen Ergebnissen aus. Selbst wenn ich die y-Achse mit Einheiten eingezeichnet h\u00e4tte, k\u00f6nnte man das nicht. Kein Wunder: in die Kurve gehen als Information nur der Mittelwert und die Standardabweichung ein, nichts \u00fcber die absolute Anzahl.<\/p>\n\n\n\n

Wir merken uns drittens:<\/strong> der Mittelwert ist f\u00fcr die Kurve gar nicht so wichtig. Drei Schulaufgaben mit der Notenverteilung:<\/p>\n\n\n\n

1 3x             1 -               1 -\n2 12x            2 3x              2 -\n3 12x            3 12x             3 3x\n4 3x             4 12x             4 12x\n5 -              5 3x              5 12x\n6 -              6 -               6 3x<\/pre>\n\n\n\n
haben die gleiche Standardabweichung, die Kurve sieht gleich aus. Nur der Mittelwert ist anders, 2,50 im ersten, 3,50 im zweiten und 4,50 im zweiten Fall. F\u00fcr die Grafik hei\u00dft das eigentlich nur, dass die Kurve etwas nach rechts oder links verschoben wird.<\/p>\n\n\n\n
Ausprobieren und herumverschieben kann man das in folgendem kleinen Fenster. Aus technischen Gr\u00fcnden habe ich noch einen Faktor „Lupe“ erg\u00e4nzt, der eigentlich \u00fcberhaupt gar nichts bei der Normalverteilungsfunktion zu suchen hat. Aber damit kann man sozusagen den Ma\u00dfstab der y-Achse sozusagen anpassen, damit man leichter etwas sieht.<\/p>\n\n\n\n