{"id":2747,"date":"2010-04-03T13:24:35","date_gmt":"2010-04-03T11:24:35","guid":{"rendered":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/?p=2747"},"modified":"2023-06-23T06:44:46","modified_gmt":"2023-06-23T04:44:46","slug":"die-normalverteilung-teil-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/2010\/04\/die-normalverteilung-teil-2.htm","title":{"rendered":"Die Normalverteilung, Teil 2"},"content":{"rendered":"
(15 Kommentare.<\/a>)<\/small> <\/div>\n

Beim letzten Mal<\/a> ging es um die technische Seite der Normalverteilung. Diesmal erz\u00e4hle ich, wie es \u00fcberhaupt dazu kam, dass ich mir dar\u00fcber Gedanken machte. Das war so:<\/p>\n\n\n\n

Einmal schrieben alle Klassen eines Jahrgangs an unserer Schule die gleiche von uns Lehrern selbst entworfene Pr\u00fcfung. Sie bestand aus 13 Teilaufgaben; auf jede Aufgabe gab es 3-6 Punkte. Insgesamt waren 60 Punkte zu erreichen. Von drei Klassen hatte ich die Ergebnisse in digitaler Form zur Verf\u00fcgung, das waren 87 Sch\u00fcler (ohne Legastheniker und Sonderf\u00e4lle). Wo ich schon mal so viele Ergebnisse hatte, bot es sich an, die auch mal genauer anzuschauen.<\/p>\n\n\n\n

Ein erster \u00dcberblick \u00fcber die Gesamtpunktzahlen, auf der x-Achse die Punkte von 0 bis 60, auf der y-Achse die Summen der erreichten Punkte, schon ein bisschen gegl\u00e4ttet:<\/p>\n\n\n\n

\"\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Unspektakul\u00e4r. Normalverteilt genug, auch wenn da ein Loch rechts neben der Mitte ist.<\/p>\n\n\n\n

Mich hat jetzt besonders interessiert, welche der einzelnen Teilaufgaben uns Pr\u00fcfungserstellern gut gelungen sind und welche nicht. Ich verrate bestimmt kein gro\u00dfes Geheimnis, wenn ich zugebe, dass man manchmal mit Aufgaben daneben langt. Sie sind zu leicht oder zu schwer oder falsch oder ungeeignet dazu, das zu pr\u00fcfen, was man damit pr\u00fcfen will. Ich dachte mir beim Betrachten unserer Pr\u00fcfungsergebnisse erst mal ganz naiv: Eine Aufgabe mit, sagen wir, 5 Punkten, bei der jeder Sch\u00fcler nur 0-2 Punkte erreicht hat, war m\u00f6glicherweise zu schwer. Eine Aufgabe mit 5 Punkte, bei der jeder Sch\u00fcler 4-5 Punkte erreicht hat, war vielleicht zu leicht und differenziert nicht besonders. Gerade beim Benoten solcher Aufgaben l\u00e4uft es manchmal darauf hinaus, dass man die Aufgaben, bei denen alle Sch\u00fcler gleich gut oder gleich schlecht waren, genauso gut gleich h\u00e4tte weglassen k\u00f6nnen, so dass die tats\u00e4chliche Note eigentlich nur von den wenigen differenzierenden Aufgaben abh\u00e4ngt.<\/p>\n\n\n\n

Ich lie\u00df also mein Auge die Spalten des Tabellenkalkulationsprogramms hinabgleiten. In jeder Spalte standen die Ergebnisse einer Aufgabe. Gab es st\u00e4ndig nur hohe Zahlen… zu leicht… gab es st\u00e4ndig nur kleine Zahlen… zu schwer… und weil ich gerne bastle, hoffte ich darauf, dass es vielleicht eine schicke Funktion geben w\u00fcrde, die mir das Rechnen abnimmt und mir auf Basis der eingegeben Zahlen einfach ausgerechnet, wie gut oder schlecht die einzelnen Punkte verteilt waren.<\/p>\n\n\n\n

Ah! Daher die Besch\u00e4ftigung mit der Standardabweichung. Leider hat sich – siehe letzten Eintrag – herausgestellt, dass mir die vermutlich nicht viel weiterhilft. Zumindest ist mir hier noch weniger klar, wie man da von einer Summe unabh\u00e4ngiger Einzeleregebnisse sprechen soll. Au\u00dferdem gibt es ja auch noch eine Mittelabweichung, und ich als v\u00f6lliger Laie habe keine Ahnung, ob die nicht ohnehin angebrachter ist. Oder ob das ganze \u00fcberhaupt K\u00e4se ist. Aber v\u00f6llige Laien schreckt so etwas nicht ab, also habe ich mir eine Tabelle gebastelt und damit experimentiert:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Die Standardabweichung allein sagt noch nicht viel aus. Eine Standardabweichung von 1,4 Punkten bedeutet bei einem Mittelwert von 2,5 Punkten etwas ganz anderes als die gleiche Abweichung bei einem Mittelwert von 5,5 Punkten.<\/li>\n\n\n\n
  2. Das kann man ausgleichen, indem man mit dem Quotient aus Standardabweichung und Mittelwert oder maximal erreichbaren Punkten arbeitet. Ist das erlaubt? Holt mich gleich die Statistikpolizei?<\/li>\n\n\n\n
  3. Wenn die Standardabweichung 0 ist, haben alle Sch\u00fcler das gleiche Ergebnis. Wenn die Standardabweichung etwa gleich dem Mittelwert ist, dann gibt es eigentlich nur Extremwerte – entweder viel oder wenig Punkte und kaum etwas dazwischen.<\/li>\n\n\n\n
  4. \u00dcber den L\u00f6sungsgrad einer Aufgabe sagt weder die Standardabweichung noch der Mittelwert etwas. Wenn 8 Punkte zu erreichen w\u00e4ren und sich die Leistungen aller Sch\u00fcler sch\u00f6n<\/em> auf die Punkte 0-4 verteilen, dann ist die Aufgabe sch\u00f6n differenzierend, aber trotzdem stimmt etwas nicht mit ihr.<\/li>\n\n\n\n
  5. Sch\u00f6n verteilt<\/em> – dazu weiter unten mehr – sind Ergebnisse dann, wenn der Quotient aus Standardabweichung und Mittelwert um die 0,5 betr\u00e4gt. Oder der Quotient aus Standardabweichung und maximaler Punktezahl zwischen 0,25 und 0,35. Das sage ich jetzt einfach mal so. Das ist doch schon mal ein Ergebnis, mit dem ich meine Pr\u00fcfungsaufgaben anschauen kann.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    An der Stelle habe ich dann das Handtuch geworfen. Ich gebe auf. Passe. Hier sind die leicht ver\u00e4nderten Werte zu den einzelnen Aufgaben: wem eine sch\u00f6ne Formel einf\u00e4llt, wie man aus Mittelwert, maximaler Punktzahl, Standardabweichung oder anderem Krimskram ablesen kann, ob einem die Aufgabe gelungen ist, der kann sie ja mitteilen. Vermutlich lernt man im 1. Semester Statistik schon, wie das geht, oder dass das ja mal \u00fcberhaupt gar nicht geht.<\/p>\n\n\n\n

    Aufgabe:<\/td>Max.<\/td>Mittelw.<\/td>L\u00f6sungsgr.<\/td>Stabw<\/td>Stabw\/ Mittelw.<\/td>Stabw\/ Max<\/td>Kommentar<\/td><\/tr>
    A<\/td>3<\/td>2,55<\/td>85%<\/td>0,71<\/td>0,28<\/td>0,24<\/td>zu leicht<\/td><\/tr>
    B<\/td>4<\/td>3,38<\/td>84%<\/td>0,86<\/td>0,26<\/td>0,22<\/td>sehr hoher L\u00f6sungsgrad, wenig Ausrei\u00dfer<\/td><\/tr>
    C<\/td>4<\/td>3,31<\/td>83%<\/td>0,85<\/td>0,26<\/td>0,21<\/td>sehr hoher L\u00f6sungsgrad, wenig Ausrei\u00dfer<\/td><\/tr>
    D<\/td>5<\/td>3,92<\/td>78%<\/td>1,04<\/td>0,27<\/td>0,21<\/td> <\/td><\/tr>
    E<\/td>5<\/td>3,35<\/td>67%<\/td>1,30<\/td>0,39<\/td>0,26<\/td>differenziert gut<\/td><\/tr>
    F<\/td>6<\/td>4,01<\/td>67%<\/td>1,10<\/td>0,28<\/td>0,18<\/td> <\/td><\/tr>
    G<\/td>6<\/td>3,98<\/td>66%<\/td>1,33<\/td>0,33<\/td>0,22<\/td> <\/td><\/tr>
    H<\/td>6<\/td>3,81<\/td>63%<\/td>1,35<\/td>0,35<\/td>0,22<\/td> <\/td><\/tr>
    I<\/td>5<\/td>3,05<\/td>61%<\/td>1,11<\/td>0,37<\/td>0,22<\/td> <\/td><\/tr>
    J<\/td>4<\/td>2,32<\/td>58%<\/td>0,98<\/td>0,42<\/td>0,24<\/td>differenziert gut<\/td><\/tr>
    K<\/td>4<\/td>1,47<\/td>37%<\/td>0,91<\/td>0,62<\/td>0,23<\/td>geringer L\u00f6sungsgrad, differenziert schlecht<\/td><\/tr>
    L<\/td>4<\/td>1,39<\/td>35%<\/td>1,07<\/td>0,77<\/td>0,27<\/td>geringer L\u00f6sungsgrad, differenziert schlecht<\/td><\/tr>
    M<\/td>4<\/td>1,16<\/td>29%<\/td>0,97<\/td>0,84<\/td>0,24<\/td>differenziert kaum, sehr \u00e4hnliche (schlechte) Werte<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

    Ich habe aber auch deshalb aufgegeben, weil ich auf die darunter liegende unter viel wichtigere Frage gesto\u00dfen bin. Wann ist denn eine Verteilung von Punkten sch\u00f6n<\/em> oder gelungen? Was will ich denn eigentlich erreichen mit einer Aufgabe?<\/p>\n\n\n\n

    Ah.<\/p>\n\n\n\n

    Oh.<\/p>\n\n\n\n

    Was will ich bei einer Aufgabe, f\u00fcr die ich 8 Punkte gebe: will ich, dass alle Sch\u00fcler 7-8 Punkte kriegen, will ich eine Verteilung \u00fcber das Spektrum 5-8 oder eine \u00fcber 0-8? Oder will ich, dass es entweder 0 oder 8 Punkte gibt und nichts dazwischen? Warum? Es hilft nat\u00fcrlich nichts, zu sagen, dass es nicht darauf ankommt, was man als Lehrer will, sondern darauf, was die Sch\u00fcler leisten. Denn nat\u00fcrlich h\u00e4ngt das Ergebnis dann doch von der Aufgabenstellung ab, ob man sich bewusst f\u00fcr eine entschieden hat oder nicht.<\/p>\n\n\n\n

    Eigentlich wollte ich meine \u00dcberlegungen hierzu auch noch in diesen Blogeintrag packen. Aber die sind dann so unpr\u00e4zise und durcheinander geworden, dass ich ihnen lieber durch den in B\u00e4lde folgenden eigenen Eintrag zumindest den Anschein inneren Zusammenhangs geben m\u00f6chte. (Vielleicht f\u00e4llt ja jemand darauf herein.)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    (15 Kommentare.) Beim letzten Mal ging es um die technische Seite der Normalverteilung. Diesmal erz\u00e4hle ich, wie es \u00fcberhaupt dazu kam, dass ich mir dar\u00fcber Gedanken machte. Das war so: Einmal schrieben alle Klassen eines Jahrgangs an unserer Schule die gleiche von uns Lehrern selbst entworfene Pr\u00fcfung. Sie bestand aus 13 Teilaufgaben; auf jede Aufgabe […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[314],"tags":[135],"class_list":["post-2747","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analysen","tag-schulaufgaben"],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2747","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2747"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2747\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":58105,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2747\/revisions\/58105"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2747"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2747"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.herr-rau.de\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2747"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}