Efronsche Würfel

(Auch wenn Wikipedia und weitere Fundstellen „Efrons Würfel“ dazu sagen: Zumindest in der Überschrift bleibe ich bei der Version, an die ich mich gewöhnt habe.)

Ein bisschen Mathematik:

Wenn Groucho älter ist als Chico, und Chico älter als Harpo, dann ist Groucho auch älter Harpo. So ist es in der wirklichen Welt, und in der Mathematik heißt das, dass „älter sein“ eine transitive Beziehung ist. Dass „älter sein“ transitiv ist, ist einleuchtend. Aber nicht alle Beziehungen sind transitiv, und das widerspricht manchmal der Intuition.

So zum Beispiel „besser sein“, im Sinne von Fußballmannschaften oder Schülern. Wenn A eine bessere Mannschaft ist als B, und B eine bessere Mannschaft als C, ist A dann automatisch eine bessere Mannschaft als C?

Efronsche Würfel sind ein Sonderfall von nicht-transitiven Würfeln. Es gibt beliebig viele Varianten davon; es können zum Beispiel vier normale sechsseitige Würfel mit folgender Beschriftung sein:

Würfel A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
Würfel B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
Würfel C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
Würfel D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Diese vier Würfel haben folgende Eigenschaft: Keiner von ihnen ist der beste. (Besser heißt hier, dass man mit einem Würfel eine größere Chance hat, eine höhere Zahl zu würfeln, als mit einem anderem.)

Würfel A gewinnt gegen Würfel B mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.
Würfel B gewinnt gegen Würfel C mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.
Würfel C gewinnt gegen Würfel D mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.
Würfel D gewinnt gegen Würfel A mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.

„Besser sein“ ist in diesem Fall eben nicht transitiv. Insofern ist „kann besser Englisch“ wohl auch nicht transitiv, denke ich – anders als Schulnoten das suggerieren.

Weitere intransitive Würfel und eine ausführlichere Erklärung bei Wikipedia. Das wollte ich nur mal loswerden.

Tagged: Tags

8 Thoughts to “Efronsche Würfel

  1. Sehr schön. Transitivität wurde wohl nur noch vor unserer Zeit im Mathematikunterricht erwähnt. Bei manchen geometrischen Überlegungen lässt sie sich sehr gut anwenden.
    Noch ein Beispiel für einen nicht-transitive Zusammenhang: Peter liebt Monika, Monika liebt Hans. Also liebt Peter Hans ;)

  2. Ist gut, dass niemand überprüft, was Sie schreiben, peinlich:
    die Wahrscheinlichkeiten im obigen Beispiel betragen jeweils
    2:1 und nicht 2:3
    mfG.mgf

  3. Um, nein. Schauen Sie sich mal die ersten beiden Würfel an. Die Wahrscheinlichkeit, mit A zu gewinnen, beträgt 4/6, Anzahl aller günstigen durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Das sind 2/3, also 66%, wie oben geschrieben.

    Anders betrachtet kann man sagen, dass Würfel A doppelt so gut ist wie Würfel B, und da kommt gedanklich Ihr 2:1 her. Das ist das Verhältnis der Gewinnchancen, A hat eine doppelt so hohe Chance wie B, der eine 66%, der andere 33%. Eine Wahrscheinlichkeit von 2/1 wäre 200% – Wahrscheinlichkeiten drückt man aber nur zwischen 0% und 100% aus.

    Elementar, mein guter Watson.

  4. Einfach ein Missverständnis, vielleicht aufgrund allgemeinen Misstrauens gegenüber Sachen, die man so im Web liest. Kann ja mal passieren.

  5. Oh das ist toll!
    Und zwar nicht nur die Efronschen Würfel, sondern auch das obige Missverständnis um 2:1 oder 2:3 !
    Ich denke, der Doppelpunkt hat eine Doppelsemantik: „zu“ oder „von“.

    Als Wahrscheinlichkeit entspricht „2 zu 1“ genau „2 von 3“,
    oder anders gesagt: das Verhältnis 2:1 entspricht dem Bruch 2/3.

    Je nach Kontext macht : oder / einen großen Unterschied!

  6. Ich weiß zwar nicht, ob diese Seite noch aktuell ist, doch ich wollte einmal fragen, ob nicht Würfel C auf längere Sicht,wenn man immer zufällig gegen einen der anderen Würfel spielt, bessere Gewinnchancen als die anderen drei Würfel haben (übrigens genau so viel besser wie Würfel A schlechter als B und D ist).

  7. AB, AD, BC, CD gewinnen in jeweils 2/3 bzw. 1/3 aller Fälle; das ist die Voraussetzung (und stimmt auch rechnerisch), wenn zu jedem Würfel ein (speziell ausgewählter) anderer gleich viel besser sein soll. Damit haben für jeden Würfel zwei der drei möglichen Gegner mit jeweils gleichem Vor- beziehungsweise Nachteil. Es kommt also nur auf die Paarungen AC und BD an. Und da scheint C tatsächlich besser als A zu sein, mit B und D gleichauf in der Mitte dazwischen. Ich gestehe, ich habe das nicht nachgerechnet, weil Stochastik zu rostig, aber in einer Simulation überprüft. Eine schöne Beobachtung!

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.